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Desde la ciudad de “Samarra”,
a orillas del Tigris, van a camello el calculista BEREMIZ SAMIR
y un joven bagdalí camino de Bagdad, para visitar al califa “Al-Motacén”.
En un oasis asisten a la discusión de tres beduinos sobre el reparto de
una herencia, ya que no se ponían de acuerdo.
Beremiz se interesó por
el problema y preguntó acerca de él. Mustafá, uno de ellos habló así:
1ra. historia
“Somos tres hermanos y
nuestro padre nos ha dejado en herencia 35 camellos y la siguiente
condición de reparto: Para mí, que soy el mayor serán la mitad, para mi
hermano mediano, Hamet, la tercera parte y para Harim, el pequeño, sólo
la novena parte.¡ En nombre de Allah, los tres aceptamos la
venerable voluntad de nuestro padre! El problema es que no
nos sale bien el reparto. Siguió explicándose así: Si hacemos dos
montones iguales, a mí me corresponden 17 camellos y sobra 1. Si hacemos
tres montones iguales con los 35 camellos, a Hamet le corresponden 11
camellos y sobran 2. Si hacemos nueve montones iguales, a mi muy amado y
pequeño Harim, le corresponden 3 camellos y sobran 8. Es decir, a mí
me corresponden más de 17 camellos, pero menos de 18. A Hamet, más de 11
pero menos de 12. A Harim más de 3 pero menos de 4.”
Dato histórico:
El califa Al-Motacén subió al trono en el año 1.242, por esta fecha las
divisiones las hacían por reparto de cosas concretas, ya que la división,
como algoritmo, estaba reservada a unos pocos matemáticos y alquimistas)
Pensando el calculista
Beremiz dijo: ¡ Allah sea loado! Os daré la solución.
Pidió al joven bagdalí su
camello (que no se lo quería dejar) y uniéndolo a la cáfila dijo así
”Voy a hacer la división justa y exacta de los camellos de la cáfila que
como veis, ahora son 36 camellos al nosotros juntar el nuestro. El
joven bagdali penso que se iba a quedar sin su camello.
Tú, Mustafá,
recibirás la mitad de 36 camellos, es decir 18. Para Hamet
será la tercera parte de 36, que es justo 12. Tú, pequeño
Harim, recibirás la novena parte de 36, es decir 4 camellos.
Todos habéis ganado con mi reparto, ya que sabéis que teníais que haber
recibido algo más de 17, de 11 y de 3 respectivamente.
Sigue Beremiz: “ 18 + 12
+ 4 = 34. De la cáfila de 36 camellos sobran 2. Uno, como sabéis es para
mi joven amigo el bagdalí, que nos lo dejó para hacer el reparto. El
otro que sobra es justo que me corresponda por haber resuelto
ventajosamente para vosotros, el complicado problema de la herencia.
Reunidos aparte los tres
hermanos mostraron su satisfacción y Mustafá, en nombre de los tres dijo:
“ Eres inteligente, extranjero, aceptamos tu reparto hecho con justicia
y equidad. Toma el camello que quieras” . Y asi resolvio un
problema complicado para otros y que el con ingenio y sabiduria divina
pudo subsanar.
2da.historia
Beremiz solicitó el permiso para contraer
matrimonio con la joven Telassim, hija del jeque lezid Abul-Hamid, quien
fuera su alumna y de quien, a pesar de nunca haberla visto, estaba
enamorado; siendo, a la vez, correspondido.
Aunque Telassim era la prometida de un jeque damasceno, el Califa y el
jeque lezid acordaron acceder a la petición de mano si Beremiz resolvía
un problema, inventado por un derviche de El Cairo, que el rey había
propuesto - según sus propias palabras- " a centenares de sabios, ulemas,
poetas y escribas", sin que ninguno hubiera encontrado la solución.
El problema planteado fue el siguiente:
El Califa tenía cinco hermosas esclavas, de las cuales dos tenían los
ojos negros y las tres restantes tenían los ojos azules. Las esclavas de
ojos negros decían siempre la verdad cuando se les interrogaba, mientras
que las de los ojos azules siempre mentían.
Las esclavas serían presentadas con los rostros cubiertos por un tupido
velo que impedía verles el color de los ojos. Beremiz debía deducir, e
indicar sin error, cuáles de las esclavas tenían los ojos negros y
cuáles los tenían azules; para lo que podía interrogar a tres de las
cinco, haciendo sólo una pregunta a cada joven. Las preguntas debían ser
de naturaleza tal que sólo las propias esclavas fueran capaces de
responder. Además de resolver el problema, la solución estaría
acompañada de un razonamiento, rigurosamente lógico, que la justificara.
Beremiz había aceptado el reto antes de ser enunciado el problema. Así
que esperó la llegada de las esclavas. Estas se presentaron con velos
que les cubrían desde la cabeza a los pies y se colocaron en fila en
medio del gran salón de las audiencias, que se encontraba repleto debido
a la asistencia un numeroso público que colmaba sus espacios.
El calculista persa decidió interrogar a la primera esclava - situada a
la derecha en el extremo de la fila- y le preguntó:
—¿De qué color son tus ojos?.
La esclava, ante el asombro del público, respondió en una lengua china
totalmente desconocida para los musulmanes presentes y, ante el hecho,
el Califa ordenó que las siguientes respuestas fueran dadas en árabe
puro y de forma simple y precisa.
Sólo quedaban dos preguntas por realizar. Todos consideraban que la
primera pregunta había sido perdida.
Beremiz se dirigió a la segunda esclava y le preguntó:
—¿Cuál es la respuesta que acaba de dar tu compañera?.
A lo que respondió la segunda esclava:
—Dijo: "Mis ojos son azules".
De inmediato se dirigió a la esclava situada en el centro y la interrogó:
—¿De qué color son los ojos de esas dos jóvenes a las que acabo de
interrogar?.
La respuesta fue:
— La primera tiene los ojos negros y la segunda los tiene azules.
Hechas las preguntas, Beremíz se dirigió al Califa y, después de las
alabanzas de costumbre, dio la solución del problema:
La primera esclava interrogada tenía los ojos negros, la segunda azules
y la tercera negros; las dos restantes tenían los ojos azules.
Los rostros de las esclavas fueron descubiertos y un fuerte grito de
asombro se escuchó en toda la sala; pues, Beremiz había dicho con
exactitud el color de los ojos de cada una.
Poco después, Al-Motacén solicitó el razonamiento riguroso, que
justificara la respuesta, exigido dentro de las condiciones.
A este respecto Beremiz dijo que al formular la primera pregunta: ¿De
qué color son tus ojos?, la respuesta tenía que ser necesariamente "negros";
pues, si la esclava decía la verdad tenía los ojos negros y su respuesta
no podía haber sido otra; si la esclava decía la mentira tenía los ojos
azules y necesariamente, al mentir, debía decir que sus ojos eran negros.
Como la respuesta era conocida por él, de antemano, el hecho de
recibirla en otro idioma no causó ningún problema; ya que, en cualquier
lengua, la respuesta única posible era: "Mis ojos son negros".
Beremiz prosiguió diciendo que aprovechó ese revés para hacer que no
comprendía y justificar la pregunta a la segunda esclava: —¿Cuál es la
respuesta que acaba de dar tu compañera?.
Al recibir como respuesta: —"Dijo: mis ojos son azules", no le cupo la
menor duda que la segunda esclava mentía, por lo que estaba descubierto
el color de sus ojos: azules.
Finalmente se refirió a la pregunta última, realizada a la esclava que
se encontraba en el medio: —¿De qué color son los ojos de esas dos
jóvenes a las que acabo de interrogar?.
Al recibir la respuesta "-- La primera tiene los ojos negros y la
segunda los tiene azules" el problema estaba totalmente resuelto; pues
la tercera esclava dijo con exactitud el color de los ojos de la segunda
que, como se había dicho, ya estaba descubierto y no había duda de que
decía la verdad, por lo que sus ojos eran negros.
De la respuesta de la tercera esclava y con la seguridad de que decía la
verdad resultó fácil deducir que la primera tenía los ojos negros.
Luego: la primera tenía los ojos negros, la segunda los tenía azules; la
tercera también los tenía negros y, como no había más que dos esclavas
con ojos negros, las dos no interrogadas los tenían azules.
Claro está que Beremiz recibió la mano de la joven y bella Telassim, con
quien casó, y vivió pleno de felicidad y amor hasta el fin de sus días.
Terminada la lectura del pequeño capítulo, gozoso, me puse a pensar en
lo ingeniosa que resultó la resolución del problema. El gozo fue breve y
duró hasta que se me ocurrió preguntar ¿Qué habría pasado si la tercera
esclava hubiera sido de ojos azules y, por lo tanto, dijera la mentira?.
Su respuesta sería: "--La primera tiene los ojos azules y la segunda los
tiene negros", con lo que Beremiz también hubiera podido deducir el
color de los ojos de las esclavas interrogadas: la primera negros y la
segunda y la tercera azules; pues al estar descubierta la segunda no
cabría duda de que la tercera mentía al decir que los ojos de la segunda
esclava eran negros. Pero, con esta nueva disposición de las esclavas,
una de las dos no interrogadas tendría los ojos azules y la otra los
tendría negros; por lo que el calculista no hubiera tenido ningún
asidero lógico para determinar el color de los ojos de las dos últimas
esclavas.
Igual hubiera sucedido si la primera interrogada hubiera sido de ojos
azules y la tercera de ojos negros; esta última habría respondido: " --
La primera tiene los ojos azules y la segunda los tiene azules"; con lo
que se podía deducir que la tercera decía la verdad, ya que estaba
descubierto que la segunda tenía los ojos azules. Con esto era posible
saber el color de los ojos de las esclavas interrogadas; pero, caemos en
el caso anterior, donde las no interrogadas tenían colores diferentes en
sus ojos.
A partir de las tres preguntas enunciadas sólo es posible deducir, en
forma lógica, el color de los ojos de las jóvenes interrogadas; por lo
que el problema tendrá solución, únicamente, si las no interrogadas
tienen ojos del mismo color.
Si dos esclavas de ojos azules son las no interrogadas, entonces las dos
de ojos negros están dentro del grupo de las interrogadas y, como en el
caso del relato, basta descubrir el color de los ojos de la segunda y
apoyarse en la respuesta de la tercera para descubrirlos. Sin importar
el orden en que queden ubicadas las tres esclavas, las tres preguntas
llevarán al descubrimiento inequívoco del color de los ojos de cada una.
Si las dos esclavas de ojos negros son las no interrogadas, la tercera
respuesta sería; " -- La primera tiene los ojos negros y la segunda los
tiene negros"; por estar descubierta la segunda, de ojos azules, es
fácil deducir que la tercera miente y sólo basta invertir la respuesta
para deducir el color de los ojos de la primera y, por descarte, deducir
el color de los ojos de las no interrogadas.
Al estar al tanto de la situación pensé: "A Beremiz Samir lo Acompañó un
Golpe de Suerte".
Seguidamente, comencé la búsqueda de una solución que no ofreciera dudas
y que no estuviera condicionada por el color de los ojos de las esclavas
no interrogadas. Tras el estudio de las diferentes situaciones llegué a
la siguiente conclusión:
El problema se resuelve con una única pregunta, realizada a cualquiera
de las esclavas: ¿Cuáles de tus otras compañeras tienen los ojos azules?.
Al seleccionar una esclava para interrogarla, sólo existe la posibilidad
de que tenga los ojos negros ó que los tenga azules y dos únicas maneras
de dividirlas en grupos:
Primer grupo: La esclava interrogada tiene los ojos negros y en las
cuatro restantes estarán las tres de ojos azules y la otra de ojos
negros.
Segundo grupo: La esclava interrogada tiene los ojos azules y en las
cuatro restantes estarán dos de ojos negros y dos de ojos azules.
A la pregunta propuesta sólo se puede responder de una de las dos formas
siguientes:
Primera respuesta: Se señala a tres compañeras con ojos azules.
Segunda respuesta: Se señala a dos compañeras con ojos azules.
La primera respuesta no corresponde a quien diga la mentira puesto que
de las cuatro esclavas del segundo grupo sólo dos tienen los ojos negros;
al señalar una tercera con ojos azules forzosamente tendría que decir la
verdad, lo que no le está permitido. En función de la estructura del
primer grupo, la primera respuesta corresponde a quien diga la verdad.
De todo lo anterior se deduce que la primera respuesta es exclusiva de
quien diga la verdad.
La segunda respuesta no corresponde a quien diga la verdad puesto que de
las cuatro esclavas del primer grupo tres tienen los ojos azules; al no
mencionar una de ellas se estaría diciendo una mentira, lo que no le
está permitido. En función de la estructura del segundo grupo, la
segunda respuesta corresponde a quien diga la mentira ya que señalaría a
las esclavas de ojos negros, asegurando que son azules. De todo lo
anterior se deduce que la segunda respuesta es exclusiva de quien diga
la mentira.
De la doble exclusividad se deduce lo siguiente:
Si se da la primera respuesta la interrogada dice la verdad, tiene los
ojos negros, y el color de los ojos de las cuatro no interrogadas se
corresponden exactamente con la respuesta dada. Las no señaladas tienen
los ojos negros.
Si se da la segunda respuesta la interrogada dice la mentira, sus ojos
son azules, y el color de los ojos de las cuatro restantes se deduce
invirtiendo los colores de la respuesta dada. Es decir: las señaladas
tienen los ojos negros y las no señaladas los tienen azules.
En el supuesto de que la esclava interrogada también responda en
dialecto chino, existirá la posibilidad de realizar la misma pregunta a
cualquier otra y deducir, al momento, el color de los ojos de cada una.
Siempre atendiendo a las condiciones del problema y a las
características del relato.
Como se ha visto: el problema de las cinco esclavas de Al-Motacén tiene
una solución, inequívoca, más sencilla de lo parecía ser.
Alcanzada la solución, ya de noche, sentí tristeza por Beremiz Samir; a
sabiendas de que el relato de El Hombre Que Calculaba es un producto
intelectual.
Una y otra vez me pregunté: ¿Qué habría sucedido si las dos esclavas no
interrogadas por el calculista hubieran tenido diferentes colores de
ojos?.
También me hice otra pregunta: ¿Por qué, Beremiz, estuvo a punto de
errar en el penúltimo capítulo del relato, y con el último problema
propuesto, si ya no tenía la oportunidad de enmendar?.
Y estas otras: ¿Por qué, el también imaginario, Malba Tahan introdujo el
problema de las cinco esclavas si no contaba con la solución inequívoca?.
¿Sería en forma inconsciente?; ¿Sería adrede, para dejar la solución
solamente a Beremiz y probar si era capaz de resolver el último problema,
sin la guía de su mano?
Y esta otra: ¿Por qué el golpe de suerte, que situó a dos esclavas con
el mismo color de ojos en el grupo de las no interrogadas?.
Me imaginé a Beremiz saliendo de la ciudad; derrotado, sin su adorada
Telassim, como un loco que despreció el poder y la fortuna por ir en pos
de un amor que no pudo conquistar, para vivir en cualquier parte; solo,
pobre, triste y olvidado. Y a la bella
Telassim casada con el jeque damasceno; rodeada de inimaginables
riquezas, exquisiteces y adulancias; pero con el corazón oprimido por no
haber cristalizado su unión con el joven calculista que cierta vez hizo
prodigios en Bagdad.
¡Pero el relato no terminó, ni podía terminar, en esa forma tan cruel!
Abrí el libro, de nuevo, para buscar respuestas en su interior. Caí otra
vez en cuenta de que el relato es más que un conjunto de problemas
matemáticos ingeniosamente resueltos: es un hermosísimo relato acerca
del amor entre dos jóvenes que vivieron en una cultura, y una época,
donde no se respetaban los verdaderos deseos de los amantes, por lo que
podían ser separados por sus padres y obligados a contraer nupcias con
otras personas, aún en contra de sus voluntades. El amor entre Beremiz
yTelassim estaba alimentado por la dispensa mutua de inmensas raciones
de conocimiento, de caridad, de bondad, de moral, de humildad, de
paciencia, de confianza, de esperanza..... y por una infinita
religiosidad que se manifestaba en un profundo respeto y amor a Dios.
3ra. historia
El tercer
sabio interroga a Beremiz. La falsa inducción. Beremiz demuestra que un
principio falso puede ser sugerido por ejemplos verdaderos.
....El tercer sabio que debía interrogar a
Beremiz era el célebre astrónomo Abul Asan Ali de Alcalá, llegado a
Bagdad por especial invitación de Al-Motacén. Era alto, huesudo, y tenía
el rostro surcado de arrugas. Su pelo era rubio y ondulado. Exhibía en
la muñeca derecha un ancho brazalete de oro. Dicen que en ese brazalete
llevaba señaladas las doce constelaciones del Zodíaco.
El astrónomo Abul Asan, después de saludar al
rey y a los nobles, se dirigió a Beremiz. Su voz, profunda y hueca,
parecía rodar pesadamente.
- Las dos respuestas que acabas de formular
demuestran ¡oh Beremiz Samir! Que tienes una sólida cultura. Hablas de
ciencia griega, con la misma facilidad con que cuentas las Letras del
Libro Sagrado. Sin embargo, en el desarrollo de la ciencia matemática,
la parte más interesante es la que indica la forma de raciocinio que
lleva a la verdad. Una colección de hechos está tan lejos de ser una
ciencia, como un montón de piedras de ser una casa. Puedo afirmar
igualmente que las sabias combinaciones de hechos inexactos o de hechos
que no fueron comprobados al menos en sus consecuencias, se encuentran
tan lejos de formar una ciencia, como se encuentra el espejismo de
sustituir en el desierto a la presencia real del oasis. La ciencia debe
observar los hechos y deducir de ellos leyes. Con auxilio de esas leyes,
se pueden prever otros hechos o mejorar las condiciones materiales de la
vida. Sí, todo eso es cierto. ¿Pero cómo deducir la verdad?.Se presenta
pues, la siguiente duda:
¿Es posible extraer en matemática, una
regla falsa de una propiedad verdadera? Quiero oír tu respuesta, ¡oh
Calculador!, ilustrada con un ejemplo sencillo y perfecto.
Beremiz calló, durante un
rato, reflexivamente. Luego salió del recogimiento y dijo:
-Admitamos que un algebrista curioso, deseara
determinar la raíz cuadrada de un número de cuatro cifras. Sabemos que
la raíz cuadrada de un número, es otro número que, multiplicado por sí
mismo, da un producto igual al número dado. Es un axioma en matemáticas.
Vamos a suponer aún que el algebrista, tomando
libremente tres números a su gusto, destacase los siguientes números:
2.025, 3.025 y 9.081.
Iniciemos la resolución del problema por el
número 2.025. Hechos los cálculos para dicho número, el investigador
hallaría que la raíz cuadrada es igual a 45. En efecto: 45 veces 45 es
igual a 2.025. Pero se puede comprobar que 45 se obtiene de la suma de
20 + 25, que son partes del número 2.025 descompuesto mediante un punto,
de esta manera: 20.25.
Lo mismo podría comprobar el matemático, con
relación al número 3.025, cuya raíz cuadrada es 55 y conviene notar que
55 es la suma de 30 +25, parte ambas del número3.025.
Idéntica propiedad se destaca con relación al
número 9.801, cuya raíz cuadrada es 99, es decir 98+01.
Ante estos tres casos, el inadvertido
algebrista podría sentirse inclinado a enunciar la siguiente regla:
“Para calcular la raíz cuadrada de un número
de cuatro cifras, se divide el número por medio de un punto en dos
partes de dos cifras cada una, y se suman las partes así formadas. La
suma obtenida será la raíz cuadrada del número dado”.
Esa regla, visiblemente errónea, fue
deducida de tres ejemplos verdaderos. Es posible en Matemática, llegar a
la verdad por simple observación; no obstante hay que poner cuidado
especial en evitar la falsa inducción matemática”.
El astrónomo Abul Hassan, sinceramente
satisfecho con la respuesta de Beremiz declaró que jamás había oído una
explicación tan sencilla e interesante de la cuestión de la " Falsa
Inducción Matemática".
El hombre que calculaba
/ Malba Tahan, Historia oriental
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Fundación Educativa
Héctor A. García |
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