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Matemáticas:
¨(Del
lat. mathematica, y éste del gr. maqhmatikh,
terminación femenina de
maqhmatikoV); sust. f. (Ú.
en plural porque se sobreentiende "[ciencias]
matemáticas").
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Ciencia
que, por medio del razonamiento deductivo, estudia la cantidad y las
relaciones entre sus componentes, ya sea en abstracto o refiriéndose
a objetos o fenómenos determinados Sinónimos: Exactas.
Ciencia que tradicionalmente ha
tenido como misión profundizar en las nociones de Número, de Espacio,
de Expresión analítica y más tardíamente de Probabilidad.
Las matemáticas han surgido al
hacer abstracción de los datos percibidos por los sentidos. Los
números constituyen la primera abstracción. La recta y la
circunferencia, lineas perfectas regulares y sin grosor, son también
abstracciones, aunque debido a la familiaridad que se tiene con
ellas, no lo parezcan. La escritura algebraica desarrollada por
Descartes, esos signos que representan tanto incógnitas como
cantidades conocidas, los signos operatorios que representan la suma,
resta, la multiplicación y la división, y los que representan tanto
la igualdad como la desigualdad atestiguan un esfuerzo prodigioso de
abstracción por basarse ya en abstracciones. Estas abstracciones
surgidas de la observación de la realidad, se han obtenido por
exigencias de la necesidad: la numeración, de la necesidad de contar,
de medir; las figuras geométricas de la necesidad de delimitar los
dominios, de evaluarlos; las relaciones algebraicas, de la necesidad
de establecer leyes, de legislar.
En un sentido profundo se puede
considerar a las matemáticas como el lenguaje de la ciencia ya que
es el medio indispensable con el que la ciencia se expresa, se
formula y se comunica, especificando y clarificando rigurosamente
las leyes y conceptos de la misma. Si las matemáticas son el soporte
lingüístico de todas la ciencias, y por tanto se aplican en este
sentido, habrá que hacer una distinción entre matemáticas puras y
matemáticas aplicadas. Mientras que las primeras están asociadas a
la búsqueda de nuevos entes matemáticos y a sus propiedades, las
segundas tratarán de encontrar a través de las relaciones
matemáticas que traducen la leyes científicas, soluciones explícitas.
Serán mucho más analíticas que sintéticas. Reharán en sentido
contrario el camino seguido por el pensamiento al ir de la expresión
sintética al ente elemental que la da origen, al valor de la
variable, al número. Operarán por tanto con algoritmos
principalmente.
Para un filósofo, o un científico o un lógico del finales del siglo
XX "hacer matemáticas" significa esencialmente "hacer demostraciones".
Pero este ideal sólo se definió progresivamente a medida que el
cuerpo de conocimientos matemáticos se enriquecía con nuevas ramas,
nuevas teorías y nuevos teoremas.
Las matemáticas son una herramienta
interdisciplinar imprescindible en todos los ámbitos de la ciencia;
se dividen en dos grandes ramas, la pura y la aplicada.
La matemática pura tiene como principal objetivo el estudio de la
cantidad, los números, el álgebra, la aritmética, y el estudio de
los objetos descritos de forma colectiva como es la geometría, el
análisis, el cálculo y la teoría de
conjuntos.
La matemática aplicada, se centra en la aplicación de la matemática
pura a la ciencia y la ingeniería en áreas como modelos, estadística,
probabilidad, análisis de vectores, etc.
Véase el apartado "Matemáticas:
desarrollo histórico" en esta misma voz.
Como se verá más adelante, desde la
noción de número, a lo que hoy en día significa la ciencia de la
Matemática, se ha ido evolucionando con nuevas teorías dando paso a
la aparición de numerosas ramas que se entrelazan y que, en muchas
ocasiones se diferencian entre sí, no en la problemática que abordan
si no en la forma en que lo hacen; así y aunque resulta difícil
hacer una clasificación, se pueden distinguir 5 grandes ramas dentro
de las Matemáticas: el Álgebra, el Análisis o Cálculo, la Geometría;
la Teoría de las probabilidades y la Estadística.
La temática que aborda cada una de estas áreas se resume en el
siguiente esquema:
Álgebra.
Rama de las matemáticas que estudia la cantidad en general,
valiéndose de números y letras para representar simbólicamente las
entidades manejadas. La palabra de origen árabe Álgebra se
suele relacionar con los métodos para la resolución de ecuaciones.
Sin embargo, el Álgebra significa mucho más; hoy designa el estudio
de las estructuras abstractas con las que intentamos comprender las
propiedades de los conjuntos de números y los distintos tipos de
funciones. La lógica, que hasta ayer formaba parte esencial de los
estudios humanísticos , es actualmente una de las ramas del Álgebra.
La síntesis moderna entre la teoría de conjuntos y la lógica
simbólica ha revolucionado los fundamentos del pensamiento. Pero,
ayer, y hoy, el Álgebra, este "ars Magna" de los matemáticos del
Renacimiento, sigue siendo una excelente guía práctica para resolver
de una forma sencilla los problemas usuales que se presentan en el
quehacer cotidiano y cuya resolución por métodos aritméticos sería
mucho más ardua.
Cálculo o Análisis.
Rama de las matemáticas que trata con
dos operaciones fundamentales, la integración y la diferenciación
que se realizan fundamentalmente sobre funciones. Parte de un
desarrollo elemental de aspectos puramente teóricos de dichas
operaciones y su interrelación y desarrolla reglas y fórmulas que se
pueden aplicar al cálculo de funciones estándar, trigonométricas,
algebraicas etc, lo que permite su aplicación a innumerables
problemas prácticos de geometría, física, química, ingeniería,
economía etc. Véase
Análisis matemático.
El Análisis es una disciplina
matemática que abarca diversas teorías. Las principales son:
Teoría de las funciones. Véase
Función matemática.
Cálculo infinitesimal; que a su vez
se divide en:
Cálculo Integral. Véase
Integral de una función.
Cálculo diferencial. Véase
Diferencial de una función.
Geometría.
Parte de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras,
las disposiciones de los cuerpos en el espacio y sus
generalizaciones, aunque sean muy abstractas. Nacida en base
a la observación empírica y exigencias prácticas, ha sido la primera
disciplina a la que se le ha aplicado rigurosos procedimientos
lógicos-deductivos gracias a pensadores de la antigua Grecia,
procedimientos que han servido como ejemplo hasta el siglo pasado.
Véase
Geometría.
Estadística.
Rama de las Matemáticas que se basa en la obtención de los métodos
adecuados para obtener conclusiones razonables cuando hay
incertidumbre. Esta ciencia tiene como principal objeto aplicar las
leyes de la cantidad a hechos sociales para medir su intensidad,
deducir las leyes que lo rigen y hacer un predicción próxima.
Existen dos ramas muy diferentes dentro de la estadística: la
estadística descriptiva y la estadística matemática.
Desde Pitágoras hasta Kröecker, han
sido muchos los matemáticos que han pensado que la noción de número
entero era la base de su ciencia y, por tanto de todos los fenómenos
naturales. Esta noción tan simple, no ha dejado de generalizarse y
de afinarse; así la Aritmética ha visto surgir paso a paso
los números relativos y los números negativos, los números
fraccionarios, irracionales, imaginarios, complejos, hipercomplejos,
ideales etc.
Las expresiones analíticas se han
originado en el seno del Álgebra (en el sentido clásico de la
palabra) y del Análisis. Operando tanto sobre números como
sobre letras que representan números, combinándolos mediante
diversas operaciones, comparándolos, el álgebra manipula con
fórmulas ( que indican las operaciones que hay que realizar con los
números y con las letras para llegar al resultado buscado), con
ecuaciones (en las que una o más letras designan incógnitas que se
trata de hallar), con funciones (en las que los valores que toman
una o más de las letras pueden variar de manera que conviene saber
describir y estudiar la historia de estas variaciones).
El Análisis Infinitesimal
estaba constituido inicialmente por los Cálculos diferencial e
integral así como por la Teoría de las ecuaciones diferenciales (en
las que se trata de averiguar, no un número desconocido sino una
función desconocida). Con posterioridad ha visto ensancharse su
campo de acción con la Teoría de las Ecuaciones en Derivadas
parciales, después con el estudio de las Ecuaciones integrales y de
las Ecuaciones integro-diferenciales, con el Cálculo de Variaciones
y por fin con las Ecuaciones funcionales, en las que se trata de
hallar una función a partir de ciertas de sus propiedades.
El objeto de la Geometría
era la noción de Espacio y ha conocido también muchas
generalizaciones: La Geometría clásica estudia la forma y
propiedades de las figuras pertenecientes a un espacio métrico
euclidiano de tres dimensiones, que no es más que una idealización
del espacio que nos sugiere la experiencia rutinaria. Partiendo de
esta noción intuitiva, los geómetras han tratado después de un
número mayor de dimensiones y, por último de una infinidad de
dimensiones. Han considerado también espacios con propiedades
diferentes de las del nuestro; espacios afines, proyectivos,
riemannianos, etc desembocando estas generalizaciones en los
espacios abstractos de un número cualquiera de dimensiones.
La Geometría analítica ha permitido establecer un puente
entre, por una parte, la Aritmética y el Álgebra y por otra, la
Geometría.
La Geometría infinitesimal ha permitido la aplicación del
Análisis infinitesimal al estudio de las figuras del espacio.
Por su parte, el Cálculo de
Probabilidades que es la ciencia del azar (o Estocástica) extrae
su savia de la ley de la separaciones y de la ley de los grandes
números. El aspecto experimental de esta ciencia lo constituye la
Estadística que ha invadido la mayoría de las Ciencias y de las
técnicas y, entre las más recientes, la Investigación operativa.
Ciencia que tradicionalmente ha
tenido como misión profundizar en las nociones de Número, de Espacio,
de Expresión analítica y más tardíamente de Probabilidad. Las
matemáticas han surgido al hacer abstracción de los datos percibidos
por los sentidos. Los números constituyen la primera abstracción. La
recta y la circunferencia, lineas perfectas regulares y sin grosor,
son también abstracciones, aunque debido a la familiaridad que se
tiene con ellas, no lo parezcan. La escritura algebraica
desarrollada por Descartes, esos signos que representan tanto
incógnitas como cantidades conocidas, los signos operatorios que
representan la suma, resta, la multiplicación y la división, y los
que representan tanto la igualdad como la desigualdad atestiguan un
esfuerzo prodigioso de abstracción por basarse ya en abstracciones.
Estas abstracciones surgidas de la observación de la realidad, se
han obtenido por exigencias de la necesidad: la numeración, de la
necesidad de contar, de medir; las figuras geométricas de la
necesidad de delimitar los dominios, de evaluarlos; las relaciones
algebraicas, de la necesidad de establecer leyes, de legislar.
Puede afirmarse que el
pensamiento matemático fue producto, en gran parte, de dos aptitudes
del espíritu humano: la percepción de la pluralidad, que casi
pertenece al campo de la sensibilidad, y el poder de establecer
correspondencias, emparejamientos, que, sin duda, es propio de la
inteligencia. De esta manera, los primeros balbuceos matemáticos,
culminaron en el arte de contar y, después, en la aritmética.
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Los textos matemáticos
más antiguos que se poseen proceden de Mesopotamia, son textos
cuneiformes que tienen más de 5.000 años de antigüedad. Los
Mesopotámicos inventaron un notable sistema de numeración y los
métodos fundamentales del álgebra, considerada como el arte de
resolver ecuaciones. Se conoce la extensión de su saber aunque se
ignora todo de sus métodos. Al parecer sus conocimientos geométricos
fueron muy rudimentarios. Más simples todavía fueron los
conocimientos aritméticos y geométricos de los egipcios, pese a las
afirmaciones de los antiguos griegos y sobre todo si se comparan con
los de los Babilonios.
El principal texto
matemático egipcio encontrado es el Papiro del Rhind que fue escrito
bajo el reinado del rey hicso Ekenenre Apopi, hacia el 1600 a. de
J.C. De él se deduce que su sistema de numeración era un sistema
decimal por yuxtaposición y no parece que supieran contar más allá
de un millón. Sabían resolver por tanteo ecuaciones simples de
primer grado de la forma "ax=b". En cuanto a la geometría, los
problemas ofrecidos en este papiro se refieren a mediciones de
superficies o volúmenes y son netamente concretos y vinculados a
necesidades prácticas corrientes. En todos los casos se trata de
recetas utilitarias y jamás se percibe en ellos un interés teórico.
Los fenicios en el
primer milenio antes de J.C. crearon un sistema de numeración menos
engorroso que el sistema egipcio y que luego sería continuado por
los griegos en el siglo III a. de J.C.: el sistema de letras
numerales o numerables.
Los chinos poseían un
libro clásico de cálculo compuesto entre los siglos VI y I a. de
J.C. en el cual se utiliza un sistema de numeración que comprende
nueve signos diferentes para designar los números 1,2,3,4,5,6,7,8,9
y cuatro signos distintos para 10, 100, 1000 y 10000, más un signo
para el cero. Este libro comprende también un saber geométrico
elemental.
Por último en la India, la matemática, la religión y la filosofía se
confunden. El saber geométrico hindú está resumido en el Sutra de
Apastamba (un sabio que vivió posiblemente en el siglo V a. de
J.C.), este tratado constituye una guía práctica del arquitecto.
Antes de Euclides,
es decir aproximadamente entre 600 y 300 a. de J.C. se conoce el
saber matemático griego gracias a un "Prólogo histórico" escrito
en el siglo V después de Cristo por el neoplatónico Proclo que se
inspiró en una Historia de la Geometría (perdida), escrita por
Eudemo de Rodas, discípulo directo de Aristóteles, quien a su vez
la conocía a través de una compilación perdida del filósofo Gemino
(siglo I a. de J.C.). En este texto se enumeran los nombres de los
geómetras griegos, sin precisar la naturaleza exacta de sus
descubrimientos que fueron reconstituidos por la crítica erudita
de los siglos XIX y XX. Entre los principales geómetras griegos
que vivieron durante este período se pueden enumerar los
siguientes:
- Tales, filósofo
jonio de la escuela de Mileto, que importó a Grecia la ciencia
geométrica de los egipcios. Los conocimientos de Tales y los de
sus contemporáneos se limitaban a algunos principios, propiedades
y teoremas rudimentarios no demostrados, como aquel que dice que "los
ángulos en la base de un triángulo isósceles son iguales"; o "el
diámetro divide a un círculo en dos semicírculos iguales"; o bien
"las rectas paralelas determinan sobre rectas secantes unos
segmentos proporcionales" (proposición conocida como el teorema de
Tales).
- Pitágoras de Samos
que vivió en el siglo V a. de J.C. (si es que llegó a existir) es
por tradición el creador de un gran movimiento metafísico moral y
religioso y también un científico. El saber pitagórico englobaba
todo lo que hoy se conoce como geometría elemental. La propiedad
enunciada como el
teorema de Pitágoras
era ya conocida por egipcios babilónicos e hindúes, aunque fueron
los griegos de la escuela pitagórica los que la demostraron de
manera general. Los pitagóricos fueron los primeros en analizar la
noción de número, y en establecer las relaciones de
correspondencia entre la aritmética y la geometría abriendo así el
camino para la algebratización de esta ciencia que iba a ser una
conquista de los tiempos modernos.
- En la época de
Platón (hacia finales del siglo V a. de J.C.) hace aparición una
tendencia metodológica que se caracterizaba por la necesidad de
agrupar y ordenar el conjunto de los conocimientos matemáticos en
un todo armonioso y coherente. El problema angustioso es el de los
números incalculables, cuyo cuadrado es 2,3,5,7,11,13, ... Teodoro
de Cirene y después Teetetes sobre el siglo IV demostraron
progresivamente que las raíces de estos números eran cantidades
irracionales. Otras novedades de los tiempos platónicos fueron la
profundización de la teoría de las probabilidades y el
establecimiento, por el astrónomo Eudoxo de Cnido de una teoría de
la semejanza. Finalmente los matemáticos de este período abrieron
nuevas vías a las investigaciones geométricas como la
estereogeometría (geometría del espacio) que se empieza a
desarrollar, uno de los grandes éxitos en este aspecto es la
determinación por medio de métodos rigurosos de la construcción de
polígonos regulares.
Por su parte,
Euclides transformó el concepto de geometría en lo que hoy se
conoce como geometría euclidiana, la matemática euclidiana se
presenta, por lo menos en teoría, como un conjunto de deducciones
lógicas fundadas en algunos principios simples a los que se da el
nombre de hipótesis. Es una ciencia hipoteticodeductiva y hasta
mediados del siglo XIX constituyó el modelo de toda teoría
matemática. Los principios primeros, fundamentos últimos de todas
las demostraciones euclidianas, fueron divididos en tres
categorías por los comentadores clásicos:
-Las definiciones,
que establecen las nociones fundamentales sobre la cuales se va a
razonar
-Los axiomas, que enuncian verdades indemostrables válidas
para todas las ramas de las ciencias
-Los postulados, que enuncian verdades que no pueden ser
demostradas, pero que el maestro impone a su discípulo.
Euclides era
profesor de matemáticas en Alejandría durante aproximadamente el
siglo III a. de J.C. y redactó un tratado denominado "Los
Elementos" en el que se exponían todos los conocimientos de su
tiempo en esta materia. Esta obra estaba integrada por trece
libros; los libros I al IV tratan de la geometría de la linea
recta, de los triángulos, de los polígonos y del círculo; los
libros V y VI conciernen a la teoría de las proporciones y de la
semejanza; los libros VII, VIII y IX están dedicados a la teoría
de los números enteros, el libro X a los números irracionales; los
libros XI al XIII están reservados a la geometría del espacio y
terminan en la construcción de poliedros regulares inscritos en
una esfera. La aportación personal de Euclides en "los Elementos"
, sin embargo parece ser limitadas y por lo tanto, a pesar de su
fama, no fue un matemático de primerísima línea.
Arquímedes
fue sin discusión el matemático griego más genial y más grande.
Vivió en Siracusa de 287 a 212 a. de J.C y se ha conservado gran
parte de su obra escrita en dialecto dorio. La originalidad de
este científico aparece de inmediato al leer su tratado sobre el
Método. En él Arquímedes insiste sobre el hecho de que puede
existir progreso en los conocimientos científicos fuera del método
deductivo riguroso ilustrado por Euclides. El análisis puro de
carácter euclidiano, escribe Arquímedes, en substancia, no es un
buen método de investigación: sólo es respetable en tanto que
método de demostración y de exposición. Por ello, propone
Arquímedes inclinarse hacia procedimientos físicos de
descubrimientos, y buscar seguidamente una exposición lógica y
demostrativa de los resultados obtenidos. Esta llamada a la
analogía física y no a la intuición o al tanteo, condujo al genial
matemático a unos descubrimientos esenciales para la prosecución
de la historia de la matemática, en particular en lo que concierne
a las magnitudes infinitesimales, en concreto introdujo la noción
de cantidad infinitamente pequeña y la de límite. Por otra parte,
el nombre de Arquímedes ha quedado vinculado al famoso número p y
a su teoría de los cuerpos redondos (cilindro, cono, esfera), en
este sentido, el gran matemático expresó que el número p estaba
comprendido entre 3+ 10/71 y 3+10/70.
En el campo de la
aritmética, Arquímedes que había comprendido la insuficiencia de
la numeración tradicional, propuso "El arenario", un sistema
totalmente nuevo, fundado en un notable análisis de la noción de
número que permite escribir cualquier número por grande que sea
aunque este número fuera superior "no sólo al número de granos de
arena capaz de llenar toda la tierra, sino también a la masa de
arena igual en volumen a todo el universo" como declara en "El
arenario" ( este título deriva del título latino de la obra de
Arquímedes: Arena).
Entre los
matemáticos griegos del mismo tiempo o posteriores a Arquímedes,
el nombre más importante es el de Apolonio de Pérgamo, autor de un
Tratado de las cónicas, en siete libros, todos los cuales han
llegado hasta nosotros. Contemporáneo de Arquímedes desarrolló con
rigor la geometría de la elipse y realizó estudios sobre los
lugares geométricos.
Después de Apolonio
y hasta el siglo V después de Cristo, la geometría griega deja de
evolucionar. Sin embargo fuera de la geometría se originaron en
Grecia otras dos ramas de las matemáticas, bastante más
tardíamente. La primera de ellas es la trigonometría cuyo inventor
es el astrónomo Hiparco que vivió en la segunda mitad del siglo II
a de C. Combinando la geometría y el arte del cálculo, Hiparco
estableció unas tablas de cuerdas que dan las longitudes de dos
cuerdas para diferentes valores de los ángulos de un triángulo,
elaborando por tanto las primeras tablas trigonométricas de la
historia.
Después de Hiparco,
el Griego Claudio Tolomeo, que vivió en el siglo II d. de C.,
perfeccionó la trigonometría prosiguiendo los métodos y los
teoremas de Hiparco.
La segunda rama de
las Matemáticas que descubrieron o por lo menos en la que
profundizaron los griegos, es el álgebra. En el siglo IV después
de Cristo aparece, sin ningún precursor aparente, sin tanteos
previos, un sorprendente tratado de trece libros, de los cuales se
conocen seis, este tratado es casi perfecto, considerando los
conocimientos de la época, y fue titulado "Las aritméticas"
(Arithmetica). Su autor, del que no se conoce casi nada es un tal
Diofanto, y en esta obra, establece el método de resolución de
ecuaciones con una o varias incógntas, de primer o de segundo
grado (en el caso general), y proporciona algunos ejemplos de
solución de ecuaciones particulares de un grado superior a 2.
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