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Matrices y determinantes


Las matrices son objetos matemáticos de gran utilidad en el manejo organizado de información que puede ser suministrada en datos numéricos. En especial, cuando están asociadas a transformaciones lineales entre espacios vectoriales, las matrices simplifican el estudio de sus propiedades, como se apreciará a continuación.

Matrices Cuadradas y Matrices Rectangulares.
Una matriz es un arreglo, en filas y columnas, de números que son llamados coeficientes. Por ejemplo, el siguiente arreglo constituye una matriz:
$\displaystyle A=\left( \begin{array}{rr} 2 & -1\\ 3& 0\end{array} \right)$

La matriz $ A$ tiene dos filas: $ (2\quad -1)$ y $ (3\quad 0)$.

Tiene dos columnas:
$\displaystyle \left(\begin{array}{r} 2\\ 3 \end{array}\right)$   y  $\displaystyle \quad\left(\begin{array}{r} -1\\ 0 \end{array}\right)$

Se dice que $ A$ es una matriz cuadrada, porque tiene igual número de filas que de columnas. Se dice también que $ A$ es una matriz de orden $ 2\times 2$, lo que indica que tiene 2 filas y 2 columnas. La primera columna de $ A$ es $ \left(\begin{array}{r} 2\\ 3 \end{array}\right)$ y la segunda, $ \left(\begin{array}{r} -1\\ 0 \end{array}\right)$. El orden de filas y columnas es importante. Si se cambia este orden, cambia la matriz. Las matrices rectangulares son aquellas que tienen diferentes números de filas y columnas. Por ejemplo, la matriz:
$\displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr} 0 & 2 & -4\\ -1 & 1 & -3\end{array}\right)$

es una matriz de orden $ 2\times 3$ (2 filas y 3 columnas; siempre se colocan en ese orden los números, por convención).

Las filas de $ B$, que son: $ (0\quad 2\quad -4)$ y $ (-1\quad 1\quad -3)$ pueden considerarse como vectores en $ \mathbb{R}^3$, y se dice que cada fila es un 'vector fila'. Igualmente, cada columna de $ B$ se puede considerar como un vector en $ \mathbb{R}^2$:
$ \left(\begin{array}{r} 2\\ 1 \end{array}\right)$ se identifica con el vector $ (0,-1)$, $ \left(\begin{array}{r} 2\\ 1 \end{array}\right)$ con $ (2,1)$ y $ \left(\begin{array}{r} -4\\ -3 \end{array}\right)$ con $ (-4,-3)$ .

Cada columna es un 'vector columna'. Cuando se quiere hacer referencia a la posición que ocupa un coeficiente en una matriz, se nombra primero la fila y luego la columna a las cuales pertenece el coeficiente; por ejemplo en la matriz $ B$, el coeficiente 1 está en la segunda fila, segunda columna.


Las transformaciones lineales están asociadas a las matrices de la siguiente manera:

Si $ T:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ es la transformación lineal definida así:
$\displaystyle T(x,y)=(2x-y,x+3y)$

Entonces su matriz asociada será:
$\displaystyle M_T=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3 \end{array}\right)$

Los coeficientes de $ M_T$ se calculan a partir de la definición de la transformación $ T$.

 

Esta manera de construir la matriz $ M_T$ a partir de $ T$, permite obtener la imagen, mediante $ T$, de cualquier vector $ (a,b)$ de $ \mathbb{R}^2$, haciendo las operaciones siguientes, escribiendo el vector $ (a,b)$ como vector columna, a la derecha de $ M_T$:
$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\be... ...)+3(b) \end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2a-b\\ a+3b \end{array}\right)$

1. Se ha multiplicado cada coeficiente de la primera fila de $ M_T$ por $ a$ y $ b$ respectivamente, y se han sumado los resultados:
$\displaystyle 2a+(-1)b=2a-b$
$\displaystyle 1(a)+3(b)=a+3b$
Este número es la primera coordenada del vector columna $ T(a,b)$.

2. Se hacen las mismas operaciones con la segunda fila de $ M$ y $ a$ y $ b$:


Así, se ha obtenido la segunda coordenada del vector columna $ T(a,b)$. Finalmente, se obtiene:
$\displaystyle T(a,b)=(2a-b,a+3b)=\left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{r} a\\ b\end{array}\right)$
Por ejemplo, al calcular $ T(2,3)$ usando la definición de $ T$, se obtiene:
$\displaystyle T(2,3)=(2(2)-3,2+3(3))=(1,11)$

Ahora, realizando la operación definida antes entre $ M_T$ y $ (2,3)$, se obtiene:
$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & -1\\ 1 & 3\end{array}\right)\left(\be... ...{r} 4-3\\ 2+9\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 1\\ 11\end{array}\right)$

Algunas matrices de orden $ 2\times 2$ , que son importantes, son las siguientes:

1. $ I_2=\left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)$. Esta es la matriz identidad, que corresponde a la transformación identidad $ I:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$, definida por $ I(x,y)=(x,y)$. Si aplicamos la transformación $ I$ (o la matriz $ I_2$) a los vectores del plano, éstos quedan fijos:

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\beg... ... x+0y \\ 0x+y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} x \\ y\end{array}\right)$
Una figura cualquiera del plano, quedaría fija después de aplicar la transformación $ I$. (Ver figura de la derecha)

2. $ P_2=\left(\begin{array}{rr} 0&1 \\ 1&0\end{array}\right)$. Esta es llamada la matriz de permutación de orden 2, pues se obtiene a partir de la matriz identidad, intercambiando (o permutando) las 2 columnas de $ I_2$. $ P_2$ corresponde a la transformación $ S:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R}^2$ que se define como, $ S(x,y)=(y,x)$, y que constituye la simetría con respecto a la recta $ Y=x$.

$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 0&1\\ 1 &0\end{array}\right)\left(\begin{... ...}{r} x \\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} y \\ x\end{array}\right)$

El triángulo de la figura anterior, después de aplicarle $ S$ (o $ P_2$), se transforma en el triángulo siguiente: (Ver figura de la izquierda)
3. $ D=\left(\begin{array}{rr} 2& 0\\ 0 & 1\end{array}\right)$$ D$ es una matriz diagonal como lo es toda matriz con ceros en todos los coeficientes, a excepción de los de la diagonal (al menos de algunos de ellos). Su efecto sobre el triángulo isósceles de la figura sería: (Ver figura de la derecha)

(Se ensancha la figura en el sentido horizontal, al doble, y en sentido vertical, permanece igual).
$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 2 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\beg... ...y}{r} x\\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} 2x\\ y\end{array}\right)$




4. $ J=\left(\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 0 & 1\end{array}\right)$ El efecto de $ J$ sobre el triángulo dado es el siguiente: (Ver figura de la izquierda)
$\displaystyle \left(\begin{array}{rr} 1 & 2\\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\beg... ...{r} x\\ y\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} x+2y\\ y\end{array}\right)$

 
 
Las matrices que no son cuadradas también se utilizan para representar transformaciones lineales, pero no son transformaciones del plano en sí mismo, ni del espacio en sí mismo, sino de $ \mathbb{R}^2$ en $ \mathbb{R}^3$ (las matrices 3x2) ó de $ \mathbb{R}^3$ en $ \mathbb{R}^2$ ( las matrices 2x3). Por ejemplo, la matriz siguiente:
$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrr} 2&1&0\\ -1&3&-2\end{array}\right)_{2\times 3}$

Representa una trnasformación lineal de $ \mathbb{R}^3$ en $ \mathbb{R}^2$, y la imagen de un vector $ (x,y,z)$ de $ \mathbb{R}^3$ viene dada por:
$\displaystyle A\left(\begin{array}{r} x\\ y\\ z\end{array}\right)= \left(\begi... ...end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} 2x+y+ z\\ -x+3y-2z\end{array} \right)$

Es decir, si $ T:\mathbb{R}^3\longrightarrow\mathbb{R}^2$ es la transformación lineal asociada a la matriz $ A$, entonces $ T$ está definida así:
$\displaystyle T(x,y,z)=(2x+y,-x+3y-2z)$

Se observa que $ T(x,y,z)$ tiene 2 coordenadas, es decir, es un vector de $ \mathbb{R}^2$. Por ejemplo,
$ A\left(\begin{array}{r} -2\\ 1\\ 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rrr} ... ...+1\\ 2+3-6\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} -3\\ -1\end{array}\right)$

Las matrices cuadradas de orden $ 3\times 3$ representan transformaciones lineales de $ \mathbb{R}^3$ en $ \mathbb{R}^3$.
Por ejemplo, si
$\displaystyle M=\left(\begin{array}{rrr} -2&1&-1\\ 0&-3&2\\ 4&1&0\end{array}\right)$

 
Puede aplicarse $ M$ a cualquier vector $ (x,y,z)$ en $ \mathbb{R}^3$ y se obtiene un vector columna de tres filas, es decir, otro vector en $ \mathbb{R}^3$.
 
Por ejemplo,
$\displaystyle M\left(\begin{array}{r} 2\\ -2\\ 4\end{array}\right)=\left(\begin... ... 8-2+0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{r} -10\\ -14\\ 6\end{array}\right)$

Determinantes

El determinante de una matriz cuadrada $ \left(\begin{array}{rr} a&c\\ b&d\end{array}\right)$ es el número real que se obtiene al efectuar las operaciones:
 $\displaystyle ad-bc$  

Se usa la notación siguiente:
 $\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr} a&c\\ b&d\end{array}\right\vert=ad-bc$  
Por ejemplo, si $ M=\left(\begin{array}{rr} 2&5\\ -1&3\end{array}\right)$ entonces el determinante de $ M$, que se denota por $ \vert M\vert$, es:

  $\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr} 2&5\\ -1&3\end{array}\right\vert=2(3)-(-1)5=6+5=11$ 

El signo (positivo o negativo) del determinante de una matriz $ 2\times 2$ tiene un significado geométrico; se explicará a través del ejemplo anterior.

  $\displaystyle M=\left(\begin{array}{rr} 2&5\\ -1&3\end{array}\right)$ 
Los vectores columna de $ M$ son:
  $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}=\left(\begin{array}{r}2\\ -1\end{array}\right)$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}=\left(\begin{array}{r}5\\ 3\end{array}\right)$.  

Se representan $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$ en el plano cartesiano: (Ver figura de la derecha)


El ángulo que forman $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$, medido a partir de $ \vec{v_1}$ y en sentido opuesto a las agujas del reloj, es menor que $ 180^\circ$ y mayor que $ 0^\circ$. Se puede demostrar que, por eso, el determinante de $ M$ (matriz formada por los vectores columna $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$) es positivo. Así, cada vez que eso ocurra, es decir, cuando el ángulo entre los vectores columna, medido a partir del primer vector en el sentido indicado, sea menor que $ 180^\circ$ y mayor que $ 0^\circ$, el determinante será positivo.

Cuando el ángulo $ \alpha$ formado por $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$ es mayor que $ 180^\circ$ y menor que $ 360^\circ$, el determinante es negativo. Por ejemplo: (Ver figura de la izquierda)

$\displaystyle \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}=\left(\begin{array}{r}2\\ -1\en... ...tackrel{\longrightarrow}{{v_2}}=\left(\begin{array}{r}-4\\ -2\end{array}\right)$ 
$\displaystyle M=\left(\begin{array}{rr}2&-4\\ -1&-2\end{array}\right)$


 

Cuando el ángulo $ \alpha$ formado por $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$ es igual a $ 0^\circ$ ó $ 180^\circ$, entonces $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}=\lambda\stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$, para algún número real $ \lambda$, es decir, $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$ son linealmente dependientes y geométricamente, están sobre la misma recta; por ejemplo: (Ver figura de la derecha)
 

En este caso, el ángulo que forman $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}$ es igual a cero y el determinante también es cero:

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr}2&6\\ -1&-3\end{array}\right\vert=-6-(-1)6=-6+6=0$ 

Así, en general, siempre que dos vectores del plano sean linealmente dependientes, el determinante de la matriz $ 2\times 2$ que ellos forman -como vectores columna- es nulo:
Si $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}=(x_1,y_1)$ y $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}=a\cdot\stackrel{\longrightarrow}{{v_1}}$, es decir, $ \stackrel{\longrightarrow}{{v_2}}=(a\cdot x_1,a\cdot y_1)$, entonces

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr}x_1&x_2\\ y_1&y_2\end{array}\right\ver... ...1&ax_1\\ y_1&ay_1\end{array}\right\vert= x_1(ay_1)-y_1(ax_1)=ax_1y_1-ax_1y_1=0$ 
 


Hay otra interpretación geométrica del determinante de una matriz cuadrada $ 2\times 2$:
El valor absoluto del determinante de la matriz

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}a&c\\ b&d\end{array}\right)$ 

Es igual al área del paralelogramo que tiene como lados a los vectores $ (a,b)$ y $ (c,d)$, y al vector $ (a,b)+(c,d)$ como diagonal: (Ver figura de la izquierda)


En efecto, para calcular el área del paralelogramo anterior, se puede hacer lo siguiente:Se calcula el área del triángulo $ OED$ y se le suma al área del trapecio $ EBCD$.
A esa área se le restan luego el área del triángulo $ OAF$ y el área del trapecio $ ABCF$. areas y Volumenes
Es decir: área $\displaystyle \quad FCD =$   área $\displaystyle \quad OED +$ 
 área $\displaystyle \quad EBCD-($área $\displaystyle \quad AF+$área $\displaystyle \quad ABCF)$

Tomando en cuenta las coordenadas de los puntos $ D:(c,d)$, $ (F:(a,b)$ y $ (C:(a+c,b+d)$, se tiene:
 área $\displaystyle \quad OED=\frac{(OE)(ED)}{2}=\frac{c\cdot d}{2}$
área $\displaystyle \quad EBCD=\frac{EB(ED+BC)}{2}=\frac{a(d+(b+d))}{2}=\frac{a(b+2d}{2}=\frac{a\cdot b}{2}+a\cdot d$
área $\displaystyle \quad OAF=\frac{(OA)(AF)}{2}=\frac{a\cdot b}{2}$
área $\displaystyle \quad ABCF=\frac{AB(AF+BC)}{2}=\frac{c(b+b+d)}{2}=\frac{c\cdot d}{2}+c\cdot b$
Por lo tanto, área $\displaystyle \quad OFCD=\left(\frac{cd}{2}+\frac{ab}{2}+ad\right)-\left(\frac{ab}{2}+\frac{cd}{2}+cb\right)=ad-cb$
y precisamente, $ \left\vert\begin{array}{rr}a&c\\ b&d\end{array}\right\vert=ad-cb$
 
Como los vectores $ (a,b)$ y $ (c,d)$ fueron escogidos de manera tal que el ángulo formado entre ellos, medido a partir de $ (a,b)$ y en sentido contrario a las agujas del reloj, fuese mayor que cero y menor que $ 180^\circ$, resulta que el determinante es positivo y coincide con su valor absoluto. Es fácil ver que, cuando el ángulo formado por estos vectores es mayor que $ 180^\circ$, el área del paralelogramo tiene el signo opuesto al del determinante.

La interpretación del valor absoluto del determinante como el área del paralelogramo formado por los vectores columna, también permite interpretar el hecho de que el determinante de una matriz cuyos vectores columna son linealmente dependientes sea nulo: el área del paralelogramo en cuestión, en este caso también sería nula, pues dos vectores linealmente dpendientes son colineales y no  generan un paralelogramo  sino un segmento de recta.

El determinante de una matriz $ 3\times 3$ se calcula de la siguiente manera:
 $\displaystyle \left\vert\begin{array}{rrr}1&3&-1\\ 2&-2&0\\ 4&1&-3\end{array}\right\vert=(1)(-2)(-3)+3(0)(4)+2(1)(-1)-(-1(-2)(4)+0(1)(1)+3(2)(-3))=$



$\displaystyle 6+0-2-(8+0+(-18))=4-(-10)=14$

Se observa que cada sumando en la expresión anterior es igual al producto de 3 coeficientes. En la siguiente figura se trazarán líneas que conectan con azul los productos que llevan signo $ +$ y con rojo los que llevan signo $ -$:
Signo +

Signo -

Propiedades del Determinante. El determinante de una matriz cuadrada tiene ciertas propiedades que es muy importante conocer:

1. Cuando se intercambian filas o columnas de una matriz, el determinante de la matriz cambia de signo. Ejemplos:

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr}2&-3\\ 1&5\end{array}\right\vert=10-(-3)=13$
$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rr}-3&2\\ 5&1\end{array}\right\vert=-3-10=-13$
$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rrr}1&-1&2\\ 3&0&-4\\ 1&-2&-3\end{array}\right\vert=0+4-12-(0+8+9)=-8-17=-25$
$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rrr}3&0&-4\\ 1&-1&2\\ 1&-2&-3\end{array}\right\vert=9+8-(4-12)=25$


2.Cuando dos filas o dos columnas son iguales, el determinante es igual a cero: Ejemplo:

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rrr}3&-2&4\\ 1&0&-1\\ 3&-2&4\end{array}\right\vert=6-8-(6-8)=-2+2=0$ 


3. Cuando una fila (o columna) es combinación lineal de otra(s), el determinante es igual a cero. En el siguiente ejemplo, la tercera columna es igual a la suma de la primera más el doble de la segunda:

 $\displaystyle \left\vert\begin{array}{rrr}2&0&2\\ 1&-3&-5\\ -1&-2&-5\end{array}\right\vert=30+0(-5)(-1)+(-2)(2)-(6+20+0(-5))=26-26=0$


4. Si en una matriz $ A$ se multiplica una columna o una fila por un número real $ b$, entonces el determinante de la matriz resultante es igual a $ b$ por el determinante de $ A$: Dada A (ver tabla inferior) y se multiplica la primera columna de $ A$ por 2, se obtiene:

 $ A=\left(\begin{array}{rrr}-1&3&-2\\ 1&0&1\\ -6&1&-3\end{array}\right)$ $\displaystyle B=\left(\begin{array}{rrr}-2&3&-2\\ 2&0&1\\ -12&1&-3\end{array}\right)$


El determinante de $ A$ es:

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rrr}-1&3&-2\\ 1&0&1\\ -6&1&-3\end{array}\right\vert=(0-18-2-(0-1-9))=-20-(-10)=-10$ 


y por otra parte,

$\displaystyle \left\vert\begin{array}{rrr}-2&3&-2\\ 2&0&1\\ -12&1&-3\end{array}\right\vert=0-36-4-(0-2-18)=-40+20=-20=2(-10)$ 


5. Si $ A$ es una matriz cuadrada y $ B$ es otra matriz que tiene todas sus columnas (o filas) iguales a las de $ A$, excepto por una de ellas, y esta última columna de $ B$ es igual a la suma de la columna correspondiente de $ A$ más una combinación lineal de las demás, entonces $ \vert A\vert=\vert B\vert$. Por ejemplo, si

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rr}2&-3\\ -1&-2\end{array}\right)$  y $\displaystyle B=\left(\begin{array}{rr}2&-3+6\\ -1&-2+(-3)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}2&3\\ -1&-5\end{array}\right)$


(la segunda columna de $ B$ es igual a la suma de la segunda columna de $ A$ más el triple de la primera) entonces

$\displaystyle \vert A\vert=\left\vert\begin{array}{rr}2&-1\\ -1&-2\end{array}\r... ...vert=\vert B\vert=\left\vert\begin{array}{rr}2&-1\\ -1&-5\end{array}\right\vert$


En efecto:

$\displaystyle \vert A\vert=-4-(3)=-7$
$\displaystyle \vert B\vert=-10-(-3)=-7$
 

 
 

Fundación Educativa Héctor A. García