Curvatura

La curvatura de una curva en el plano, en un punto de la curva, mide la rapidez con la que la curva abandona la tangente en ese punto.

¿Cómo medimos la curvatura? Por un lado, una recta no tiene curvatura, luego su curvatura es cero, por otro lado, una recta podemos imaginarla como una circunferencia de radio infinito, entonces la curvatura podemos medirla por el inverso del radio de curvatura (1 / R)

El radio de curvatura de una circunferencia, es el radio de la circunferencia. Para el caso de una curva cualquiera, el radio de curvatura en un punto, es el radio de la circunferencia que pasa por ese punto y otros dos infinitamente próximos (por tres puntos sólo pasa una circunferencia).  En general, el radio de curvatura varía en cada punto de la curva. 

Torsión

La curvatura de las curvas en el espacio (por ejemplo la hélice, cuya imagen es similar a un muelle) se define de manera similar (el radio será el de una esfera) a la curvatura de las curvas en el plano, pero en este caso la curvatura se llama torsión.

La torsión mide la variación de la dirección del plano osculador.

Dado un punto en una curva, el plano osculador es el plano mas próximo a la curva que pasa por ese punto.

Por lo tanto una curva tiene infinitos planos osculadores (uno en cada punto).

Curvatura de una superficie

El concepto es similar. La curvatura de una superficie, en un punto, mide la rapidez con la que la curva abandona el plano tangente a la curva en ese punto.

En una superficie la curvatura depende de la dirección en la que nos movamos (este detalle no tiene sentido en el caso de curvas lineales, pues sólo nos podemos mover a lo largo de la curva). Euler demostró que en cada punto de una superficie existen dos direcciones en las que la curvatura alcanza su máximo y su mínimo y que estas direcciones son perpendiculares entre si. 

Podemos visualizar la curvatura de una superficie viendo un cilindro. Si nos movemos a lo largo del cilindro (sobre la generatriz) la curvatura es cero y si nos movemos en dirección perpendicular a la generatriz (recorriendo una circunferencia) la curvatura será máxima (igual a 1 / R, siendo R el radio de la circunferencia).

Para calcular la curvatura en una dirección que forma un ángulo a con respecto a una de las direcciones de curvatura máxima o mínima, aplicamos la fórmula:

k_a = k₁ cos² a + k₂ cos² a

Algunas superficies tienen algunos puntos en los que la curvatura, en ese punto, es la misma sea cual sea la dirección. Esos puntos se llaman puntos umbilicales. En la esfera todos los puntos son puntos umbilicales, el elipsoide con los tres ejes distintos, tiene 4 puntos umbilicales.