Números primos - Conceptos
avanzados
Números
primos
Un
número primo es un entero
positivo divisible solamente por
1 y él mismo.
Ejemplo: 2, 3, 5, 7, 11, etc.
Primos
gemelos
Un
par de números primos que se
diferencian en 2 (dos números
impares consecutivos que son
primos).
Ejemplos: (3,5), (5,7),
(11,13), ...
No
se sabe si el conjunto de primos
gemelos termina o no.
Números
coprimos o primos entre sí
Dos números que no tienen ningún
factor en común aparte de 1 o
-1. (O bien, su máximo factor
común es 1 o -1)
Ejemplo: 15 y 28 son coprimos,
porque los factores de 15
(1,3,5,15), y los de 28
(1,2,4,7,14,28) no tienen nada
en común (excepto el 1).
Primos
de Mersenne
Los números primos de la forma
2n-1 donde n
es también primo.
3,
7, 31, 127 etc. son primos de
Mersenne.
No
todos los números de esa forma
son primos. Por ejemplo, 2047 (i.e.
211-1) no es un
número primo. Es divisible por
23 y 89.
 |
Los primos de Mersenne
se llaman así por el
monje, teólogo, filósofo
y numerista francés
Marin Mersenne
(1588-1648 AD). |
Números
perfectos
Cualquier entero positivo que es
igual a la suma de sus factores
propios (los factores que no son
iguales al número).
Ejemplo: 6 (factores propios:
1,2,3) es un número perfecto
porque 1+2+3=6.
Ejemplo: 28 (factores propios:
1,2,4,7,14) también es perfecto,
porque 1+2+4+7+14=28.
Euclides demostró que 2n-1(2n-1)
es un número perfecto par cuando
2n-1 es un
primo de Mersenne. Esos números
se llaman números de Euclides y
Euler demostró que todos los
números perfectos pares son de
esa forma para algún valor primo
n. Por ejemplo, 6, 28, 496 son
perfectos y corresponden a
valores 3, 7, y 31 para el 2n-1
de la fórmula.
Esta tabla te muestra los
resultados para n=1 a 13 que
incluyen los primeros cinco
números perfectos:
|
n |
2n-1 |
2n-1(2n-1) |
¿Perfecto? |
Nota |
|
1 |
1 |
1 |
No |
n no es primo |
|
2 |
3 |
6 |
Sí |
n es primo, 2n-1
es primo |
|
3 |
7 |
28 |
Sí |
n es primo, 2n-1
es primo |
|
4 |
15 |
120 |
No |
n no es primo |
|
5 |
31 |
496 |
Sí |
n es primo, 2n-1
es primo |
|
6 |
63 |
2016 |
No |
n no es primo |
|
7 |
127 |
8128 |
Sí |
n es primo, 2n-1
es primo |
|
8 to 10 |
... |
... |
No |
no primos |
|
11 |
2047 |
2096128 |
No |
n es primo, pero 2n-1
no es primo |
|
12 |
4095 |
8386560 |
No |
n no es primo |
|
13 |
8191 |
33550336 |
Sí |
n es primo, 2n-1
es primo |
No
se han resuelto todavía los
problemas de si hay infinitos
números perfectos pares o si hay
algún número perfecto impar.
Números
abundantes
Un
entero positivo que es menor que
la suma de sus factores propios
(los factores que no son iguales
al número).
Ejemplo: 12 es abundante porque
sus factores propios son 1, 2,
3, 4, y 6 cuya suma es 16.
Números
deficientes
Un
entero positivo que es mayor que
la suma de sus factores propios
(los factores que no son iguales
al número).
Todos los números primos son
deficientes, porque sólo tienen
un factor propio: 1.
Todos los números de la forma 2n
también son deficientes.
Ejemplo: 32 (=25) es
deficiente porque la suma de sus
factores propios es 31
(1+2+4+8+16).
Además, los números de la forma
pn son siempre
deficientes cuando p es un
número primo y n es un entero
positivo.
Ejemplo: 35=243.
Los factores 243 que no son
él mismo son 81, 27, 3 y 1.
La suma de esos factores es
112, que es menos que 243.
También, 56=15625,
sus factores propios son
1,5,25,125,625, y 3125. La
suma de estos es 3906 que es
menor que 15625.
Números
amigos
Un
par de enteros, que son la suma
de los factores propios del otro
número.
Ejemplo: 220 y 284 son
números amigos porque:
-
Los factores de 220 (que
no son él mismo) son
1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110.
Suma de esos factores =
284
-
Los factores de 284 (que
no son él mismo) son
1,2,4,71,142.
Suma de esos factores =
220.
La
prueba de Euclides de que hay
infinitos números primos
La
prueba consiste en mostrar que
si suponemos que hay un número
primo máximo, llegamos a una
contradicción.
Podemos poner los primos en
orden ascendente, de manera que
P1 = 2, P2 = 3, P3 = 5 y así
sucesivamente. Si suponemos que
hay sólo n primos, el
mayor primo se llamará Pn.
Ahora formamos un número Q
multiplicando juntos todos esos
primos y sumando 1, así
Q
= (P1 × P2 × P3 × P4... × Pn) +
1
Ahora vemos que si dividimos Q
entre cualquiera de nuestros n
primos siempre hay un resto de
1, así que Q no es divisible por
ningún primo.
Pero sabemos que todos los
enteros positivos son primos o
se pueden descomponer como
producto de primos. Esto quiere
decir que Q es primo o Q es
divisible por primos mayores que
Pn.
Nuestra suposición de que Pn es
el mayor primo nos ha llevado a
una contradicción, esto quiere
decir que la suposición es
falsa, así que no hay un primo
máximo.
La
conjetura de Goldbach
La
conjetura de que todos los
números pares se pueden escribir
como suma de dos primos impares.
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La conjetura de Goldbach
se llama así por el
analista y numerista
prusiano Christian
Goldbach (1690-1764
AD), quien fue profesor
de matemáticas e
historiador de la
Academia Imperial rusa.
También fue el tutor de
Pedro el Grande, y
miembro del ministerio
de exteriores del Zar.
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Goldbach también conjeturó que
todos los números impares son
suma de tres primos: el teorema
de Vinogradov muestra que esto
es verdad excepto quizás para un
número finito de números
impares. |
