Una segunda idea fundamental en álgebra es:
Si tiene una ecuación y modifica ambos
lados de la misma exactamente igual, lo que obtiene también
es una ecuación válida.
Puede sumar, restar, multiplicar o dividir cualquier
número que desee; si lo hace de forma igual en ambos lados
de la igualdad, el resultado sigue siendo válido. Asimismo
la nueva ecuación sigue conteniendo la misma ecuación
que antes. (Pero no multiplique ambos lados por 0 y obtenga 0 =
0; el resultado es correcto, pero toda su información se
ha desvanecido en el aire.)
Por ejemplo, la ecuación dad anteriormente:
(2x + 5)/3 = 3
Multiplique ambos lados por 3:
(2x + 5) = 9
Reste 5 en ambos lados:
2x = 9 - 5 = 4
Divida ambos lados por 2:
x = 4/2 = 2
Y se obtiene el resultado, x = 2. El álgebra de
bachillerato contiene un montón más, pero las
reglas simples anteriores, más el objetivo básico
de "aislar el número desconocido", le dará
buenos resultados.
Frecuentemente se salta un último
paso, pero no se debe hacer. Para estar seguro de que no
ha cometido un error por el camino, tome la ecuación
original
(2x + 5)/3 = 3
y reemplace en ella la cantidad
desconocida x por el valor que ha calculado, en este caso
el número 2, y compruebe si los dos lados son iguales. Si
lo son, puede estar seguro de que su respuesta es correcta.
Un tercer elemento es la sustitución:
Si sabe que una cantidad o expresión
desconocida se puede expresar de forma diferente, puede
sustituirla por la forma alternativa de expresarla. Esto
proporciona una nueva ecuación, que algunas veces lleva a
la solución.
Suponga que tiene dos cantidades desconocidas, x
e y, y dos ecuaciones asociándolas (hacen falta dos
para obtener una solución única, ya que con solo
una, existe un número infinito de pares de x e y
que lo satisfacen):
x + 2y = 7 (1)
2x + y = 5 (2)
Reste 2y a ambos lados de (1):
x = 7 - 2y (3)
y sustituya esto por x en (2)
2(7 - 2y) + y = 5
Luego
14 - 4y + y = 5
Reste 14
- 4y + y = 5 - 14
-3y = -9
Multiplique ambos lados por (-1)
3y = 9
y = 3
Luego de (3)
x = 7 - 2y = 7 - 6 = 1
Como prueba final, coloque x=1, y=3 en las ecuaciones
(1) y (2) y asegúrese de que esas soluciones satisfacen
los requisitos. Si no lo hace, probablemente haga algún
error durante el cálculo.
Otro tipo de sustitución, particularmente la
sustitución de ecuaciones completas se pospone al final de
la sección (M-3), que es sobre fórmulas.
