Cuando la matriz es grande este método es muy engorroso y es
mejor utilizar las formas normales para obtener la
matriz inversa.
Vamos a calcular, utilizando las formas normales, la inversa
de la matriz
1 0 2
-1 1 1
0 -1 2
Complementamos con la matriz identidad
1 0 0 1 0 2
0 1 0 -1 1 1
0 0 1 0 -1 2
Tenemos que convertir la matriz original en la matriz unidad.
Empezaremos convirtiendo el -1 (fila 2 columna 1) en 0. Para ello
multiplicamos la primera fila por 1 y se la sumamos a la segunda fila. Hacemos la transformación también en la
matriz identidad de las filas. Nos quedará:
1 0 0 1 0 2
1 1 0 0 1
3
0 0 1 0 -1 2
Ahora convertiremos el -1 (fila 3 columna 2) en 0. Para ello
multiplicamos la segunda fila por 1 y se la sumamos a la tercera fila. Hacemos la transformación también en la
matriz identidad de las filas. Nos quedará:
1 0 0 1 0 2
1 1 0 0 1
3
1 1 1 0
0 5
Ahora convertiremos el 5 (fila 3 columna 3) en 1. Para ello dividimos la
tercera fila por 5. Hacemos la transformación también
en la matriz identidad de las filas. Nos quedará:
1 0 0 1 0
2
1 1 0 0 1
3
1/5 1/5 1/5 0
0 1
Ahora convertiremos el 2 (fila 1 columna 3) en 0. Para ello
multiplicamos la tercera fila por -2 y se la sumamos a la primera fila. Hacemos la transformación también
en la matriz identidad de las filas. Nos quedará:
3/5 -2/5 -2/5 1 0
0
1 1 0 0 1
3
1/5 1/5 1/5 0
0 1
Ahora convertiremos el 3 (fila 2 columna 3) en 1. Para ello
multiplicamos la tercera fila por -3. Hacemos la transformación también en la matriz identidad de las filas.
Nos quedará:
3/5 -2/5 -2/5 1 0
0
2/5 2/5 -3/5 0 1
0
1/5 1/5 1/5 0
0 1
Y ya hemos obtenido la matriz inversa:
3/5 -2/5 -2/5
2/5 2/5 -3/5
1/5 1/5 1/5
Si A y B son dos matrices cuadradas con inversa, entonces se cumple:
(A.B) -1 = B -1.A -1
Si A es una matriz cuadrada con inversa, entonces se cumple que la inversa de
la traspuesta es igual a la traspuesta de la inversa:
(At) -1 = (A-1) t
