Sistemas de numeración
Fecha de primera versión: 16-09-99
Fecha de última actualización: 19/04/2010
Introducción
El origen de todos los sistemas de numeración es la operación de contar. Supongamos que tenemos que contar un gran número de ovejas, un truco para facilitar el conteo es comenzar a contar de nuevo cuando lleguemos a un cierto número, por ejemplo, cuando lleguemos a diez, hacemos una marca y comenzamos de nuevo. Otra razón, tal vez la más importante, es que cuando los hombres comenzaron a contar, sólo tenían palabras para unos pocos números.
Los egipcios utilizaban símbolos para representar el 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 y 1000000 y para representar los números intermedios repetían los símbolos.
Los griegos utilizaban, en un principio, un sistema similar con símbolos para el 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000 y 10000. Los símbolos se correspondían con la primera letra del nombre del número, así diez (deka) se representaba por una delta mayúscula y mil (Khiloi) por una kapa mayúscula. Posteriormente utilizaron las letras para representar los números, esto debía ser bastante confuso, en ocasiones, porque la unión de las cifras producía palabras. Este es el origen de la numerología.
Los chinos utilizaban un sistema similar, con idiogramas para representar el 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 100, 1000, 10000.
El sistema de numeración romano era similar.
Estos sistemas de numeración se llaman aditivos porque para representar un número se añaden tantos símbolos como sean necesarios de forma que sumados representen el número.
Ninguno de estos sistemas tenían un símbolo para representar el cero.
El sistema de numeración actual tiene su origen en la India de donde fue copiado por los árabes, con los que mantenían relaciones comerciales, e introducido en occidente por Fibonacci. En este sistema, el valor de los símbolos que representan los números, depende de la posición que ocupa el símbolo. Este sistema obliga la existencia de un símbolo para representar el cero.
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El sistema actual de numeración es un sistema posicional eso quiere decir que el valor de cada número depende de la posición que ocupa. No siempre ha sido así. El sistema de numeración de los romanos no era posicional.
El numero 6324 = 6·1000 + 3·100 + 2·10 + 4, o dicho de otra forma: 4 unidades, 2 decenas, 3 centenas y 6 unidades de millar.
Establecido que el sistema de numeración es posicional, tenemos que decidir la base de numeración que vamos a utilizar. La base de numeración quiere decir cuantos dígitos diferentes vamos a utilizar. En el sistema de numeración que utilizamos habitualmente utilizamos 10 dígitos diferentes (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) y por eso se dice que es un sistema decimal o base 10.
Los ordenadores han puesto muy de moda el sistema de numeración en base 2 o binario (se utilizan los dígitos 0 y 1) y el sistema de numeración en base 16 o hexadecimal (se utilizan los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F).
Se utiliza el sistema de numeración binario porque la información es almacenada en última instancia en un medio que sólo admite dos estados posibles (cargado o descargado) y estos dos estados se asocian al cero y al uno. Los informáticos llaman a esto bit (derivado de binary digit).
Se utiliza el sistema de numeración hexadecimal porque los informáticos tratan la información agrupando los bits de 4 en 4, por lo tanto, hay 16 estados posibles 24.
Cambio de sistema de numeración
Número en base 10 a número en base 2
Para pasar un número en base 10 a base 2, si el número es mayor que 1, se divide el número por 2 y nos quedamos con el resto. Se vuelve a dividir el cociente obtenido en la division anterior por 2 y nos quedamos con el resto. Esta operación se repite hasta que el cociente resultante sea menor que 2.
Por último se escribe, por este orden el último cociente, el último resto, el penúltimo resto, el antepenúltimo resto,...
El número 6324 en base 2 es 1001111100.
Para pasar un número en base 10 a base 2, si el número es menor que 1, se multiplica el número por 2 y nos quedamos con la parte entera. Se vuelve a multiplicar el número obtenido en la multiplicación anterior por 2 y nos quedamos con la parte entera. Esta operación se repite hasta que la parte entera resultante sea mayor o igual que 1.
El número 0.125 en base 2 es 0.001
0.125*2 = 0.250 (nos quedamos con el 0)
0.250*2 = 0.500 (nos quedamos con el 0)
0.500*2 = 1.000
Número en base 2 a número en base 10
Para pasar un número en base 2 a base 10 se multiplica cada numero por la potencia de 2 correspondiente a la posición que ocupa el numero, empezando por la derecha, y se suman todos los resultados.
El número 1101 en base 2 es 1·20 + 0·21 + 1·22 + 1·23 = 13
Número en base 10 a número en base 16
Para pasar un número en base 10 a base 16, se divide el número por 16 y nos quedamos con el resto. Se vuelve a dividir el cociente obtenido en la división anterior por 16 y nos quedamos con el resto. Esta operación se repite hasta que el cociente resultante sea menor que 16. El 10 se representa por A, el 11 por B y así hasta el 15 que se representa por F.
Por último se escribe, por este orden el último cociente, el último resto, el penúltimo resto, el antepenúltimo resto,...
El número 6324 en base 16 es 18B4.
Número en base 16 a número en base 10
Para pasar un número en base 16 a base 10 se multiplica cada numero por la potencia de 16 correspondiente a la posición que ocupa el numero, empezando por la derecha, y se suman todos los resultados.
El número 18B4 en base 10 es 4·160 + 11·161 + 8·162 + 1·163 = 6324