Los Puntos Lagrangianos L4 y L5

Advertencia: Este cálculo está destinado a usuarios con conocimientos fluidos de álgebra y bastante familiarizados con la trigonometría. Es más largo, más tedioso y algo más complejo que otros cálculos similares en "Astrónomos". Si decide estudiarlo, puede ser una buena idea copiarlo y comprobar sobre el papel cuando vaya progresando.

Como ya se ha dicho, existen dos puntos en la línea Sol-Tierra, los puntos Lagrangianos L1 y L2, donde un vehículo podrá mantener su posición relativa con respecto al Sol y la Tierra (considerando solo la gravedad de ambos cuerpos). Se habló anteriormente de que existían otros tres puntos de posición estacionaria adicionales. Uno de ellos, el L3, está sobre la línea Sol-Tierra, pero al otro lado del Sol, a casi la misma distancia de la Tierra. Este punto no tiene un uso práctico debido a su posición, ya que efectuar un cálculo implicando solamente al Sol y la Tierra sería inexacto. No podemos ignorar la atracción de los otros planetas además de la Tierra.

 Los otros dos puntos Lagrangianos, el L4 y el L5, están sobre la órbita de la Tierra, con líneas conectándolos con el Sol en ángulos de 60º formados con la línea Tierra-Sol. En esos lugares el cálculo de dos cuerpos basado en la Tierra y el Sol, también predice un punto estacionario (o sea, el equilibrio en el marco de referencia giratorio con la Tierra). Nuevamente, no obstante, los puntos, L4 y L5 están tan distantes que, para un cálculo real del movimiento de una nave cerca de ellos, se deberá incluir la atracción de otros planetas. 

Sin embargo, el sistema Tierra-Luna también tiene sus puntos L4 y L5 y han recibido alguna atención como posibles puntos para posicionar observatorios o "colonias espaciales". 

Tienen una propiedad importante que no está probada, y es que son estables. En contraste, el equilibrio en los puntos L1 y L2 es tan inestable como el de una canica encaramada sobre una bola de billar. Si se coloca exactamente en la parte superior, la canica permanecerá en su sitio, pero al menor empuje se moverá más y más desde su posición de equilibrio, hasta que se cae. Por contra, el equilibrio en L4 y L5 es como el de una canica en el fondo de un cuenco: aportándole un ligero empuje, volverá de nuevo hacia el fondo. Así, un vehículo en L4 y L5 no tiende a vagar, a diferencia de en L1 y L2, donde necesita que existan abordo cohetes que den pequeños empujes de vez en cuando para mantenerlo en su sitio. 

Aquí demostraremos que los L4 y L5 del sistema Tierra-Luna son posiciones de equilibrio en el marco de referencia giratorio de la Luna, asumiendo que la órbita de la Luna es circular. Las órbitas no circulares y la cuestión de la estabilidad están más allá del alcance de esta exposición. 

Herramientas para el Cálculo

1.   Necesitaremos la ley de la gravitación de Newton y el hecho de que el centro de la órbita de la Luna es, solo de forma aproximada, el centro de la Tierra. El centro real de la órbita es el centro de masas (o "centro de gravedad") del sistema Tierra-Luna . 
   
    Si m es la masa de la Luna y M la de la Tierra, el centro de masas es el punto que divide la línea Tierra-Luna por la relación m:M. Si A es el centro de la Tierra, B el de la Luna, y c es la distancia entre los dos (dibujo). Luego si D es el centro de masas,

   AD = cm/(m+M) 
   DB = cM/(m+M) 

   Es fácil comprobar que la suma de esas distancias es c y su relación es  m/M. Una forma alternativa de DB (que puede ser útil) se obtiene dividiendo el numerador y el denominador porM:

   DB = c/(1 + m/M) 

2. De la trigonometría necesitaremos la ley de los senos. Supongamos que damos nombre al triángulo ABC, de tamaño y figura arbitrarios. Los ángulos en las tres esquinas se podrían denominar asimismo A, B y C, mientras que las longitudes de los lados se denominarán a, b y c. La ley de los senos dice

   senA/a = senB/b = senC/c

Probemos esto para los ángulos A y B, dibujando desde el ángulo C una línea perpendicular al lado c. Denominemos h a la longitud de esa línea. Luego

 senA = h/ b          b senA = h
senB = h/ a          a senB = h

De aquí 
                                                           b senA = a senB

y dividiendo ambos lados por ab nos da el resultado requerido. Para probar que el ángulo C también cumple la condición, repetimos el cálculo con una línea perpendicular dibujada desde A o desde B.
 

•   También necesitamos una identidad trigonométrica para el seno de la suma de dos ángulos. Si esos ángulos se denominan con las letras griegas a y b

sen(a + b) = sena cosb + cosa senb

•   Finalmente, necesitamos la definición de los vectores  Suponga que una fuerza F actúa sobre un objeto en un punto C, con una ángulo a con la dirección de un línea denominada R (dibujo). Suponga que también necesitamos analizar F en sus componentes paralelos y perpendiculares a R. En el triángulo CPQ, si CP representa la fuerza F, entonces CQ y QP representan sus componentes paralelo y perpendicular. Así desde

sen a = QC/CP
cos a = QP/CP

obtenemos

fuerza paralela = CQ = F sena
fuerza perpend. = QP = F cosa

Condiciones de Equilibrio

Al diagrama dibujado anteriormente para ilustrar el centro de masas del sistema Luna-Tierra, añadimos una nave espacial en un punto C, a una distancia b desde la Tierra y una a desde la Luna y a R desde le centro de masas D. Como en la derivación de la ley de los senos, denominamos (A,B,C) a los ángulos de los puntos marcados con esas letras, y las letras (a,b,c) serán las longitudes de los lados frente a las esquinas (A,B,C). 

Además denominamos como (a,b) las dos partes en las que R divide el ángulo C. Verifique todo esto antes de continuar.

La pregunta que se necesita responder es: ¿Que condiciones son necesarias en C para que el satélite mantenga fija su posición relativa a la Tierra y la Luna?

Es mejor realizar el cálculo en el marco giratorio con la Luna. En ese marco, si un satélite está en equilibrio en el punto C, mantendrá la misma distancia a la Luna y a la Tierra. El centro de rotación es el punto D, hasta la Tierra gira a su alrededor, y si el vehículo está en equilibrio en C, los tres cuerpos tendrán el mismo período orbital T. Si C está inmóvil en el marco giratorio, no existe fuerza de Coriolis (solo actúa sobre objetos que se mueven en ese marco), pero el vehículo sentirá una fuerza centrífuga, al igual que la Luna y la Tierra. 

Recopilemos las ecuaciones

     --las que deberán obedecer las distancias y los ángulos. 

(a) Primero observe que el radio de rotación R del vehículo normalmente diferirá del de la Luna, que es c/(1 + m/M) 

Designando la velocidad de rotación de la Luna por V y la del vehículo por v, puesto que la distancia = velocidad x tiempo

2p R = vT           2p c/(1 + m/M) = VT

Desde aquí

2p/T = v/R
2p/T = (V/ c)(1 + m/M) 

Las dos expresiones iguales a 2p/ T deberán ser también iguales entre si, por lo tanto

           (1)                   v/R = (V/c)(1 + m/M) 

Esto expresa simplemente la observación bien conocida de que si dos objetos comparten una rotación, el más lejano gira más rápido, y sus velocidades son proporcionales a sus distancias al eje. 

(b) La fuerza centrífuga sobre la Luna es

mV²/[c/(1 + m/M)] = m(V²/c)(1 + m/M)

y está equilibrada por la atracción de la Tierra

GmM/c²

donde G es la constante de gravitación de Newton, medida por vez primera por Henry Cavendish. En una órbita circular las dos deben ser iguales, equilibrando una a la otra: 

GmM/c² = m(V²/c)(1 + m/M) 

Dividiendo ambos lados por (m/c) nos da la segunda ecuación: 

          (2)                     GM/c = V² (1 + m/M)

(c) Hagamos a m' ser la masa del vehículo. La fuerza centrífuga sobre él será

m' v²/R

y deberá estar equilibrada por las fuerzas de atracción F_e de la Tierra y F_m de la Luna. Si embargo,  solo los componentes de esas fuerzas a lo largo de la línea R son eficaces oponiéndose a la fuerza centrífuga. Por lo tanto

m'v²/R = F_m cosb + F_e cosa

Ahora, por la teoría de la gravitación de Newton

F_m = G m'm/a²
F_e = G m'M/b²

Introduciendo esto en la ecuación anterior y dividiendo ambos lados por m' nos da la 3ª ecuación: 

          (3)                   v²/R = (Gm/a²) cosb + (GM/b²) cosa

(d) Finalmente, deberán cancelarse las fuerzas que atraen el vehículo en direcciones perpendiculares a R. De otra manera, el vehículo será atraído por la más fuerte de las dos y no permanecerá en C, o sea, no permanecerá en equilibrio. Esto lo que requiere es

F_m senb = F_e sena

Substituyendo y dividiendo ambos lados por Gm' obtenemos

           (4)                   (m/a²) senb = (M/b²) sena

 Recopilando todas las ecuaciones:

1.               v/R = (V/c)(1 + m/M) 

2.               GM/c = V² (1 + m/M) 

3.               v²/R = (Gm/a²) cosb + (GM/b²) cosa

4.               (m/a²) senb = (M/b²) sena 

Las cantidades que aparecen aquí son de 3 tipos.

• -- Algunas se conocen como constantes--G, m y M. Tienen valores fijos y no cambian. 

• -- Algunas son distancias--r, a, b y c--que tienen que ver con las posiciones de la Tierra, la Luna y el vehículo espacial. Los ángulos (a,b) dependen también de esas distancias, pero no necesitamos su relación exacta. 

• -- Y algunas son velocidades, particularmente v y V.

Eliminado las velocidades, conseguimos unas condiciones puramente geométricas, involucrando solamente distancias y ángulos. 

Ya hemos llevado a cabo una eliminación anterior. Teníamos dos ecuaciones que involucraban al período orbital T, usado cada uno para expresar 2p/T e igualando estas dos expresiones, conseguimos una que no contiene T (siempre "eliminamos una ecuación" en un proceso de simplificación, comenzando con dos y finalizando con una). 

El plan es como sigue. Deberemos eliminar V entre (1) y (2), consiguiendo una ecuación que solo involucre a v. Luego eliminaremos v entre ella y la (3), terminando con una ecuación que no implique a las velocidades--más la (4), que tampoco contiene v ni V. 

De (1), elevando al cuadrado ambos lados

v²/R² = (V²/c²) (1 + m/M) ²

Multiplicando ambos lados por c² y dividiéndolos por (1 + m/M)

v² (c²/R²)/[1 + m/ M] = V² (1 + m/M) 

Pero por (2)

GM/c = V² (1 + m/M) 

Igualando:

             (5)               v² (c²/R²) /[1 + m/M] = GM/c

y se ha eliminado V. Ahora multiplicando ambos lados por (1 + m/M), dividiéndolos por c² y multiplicándolos por R

v²/R = (GM/ c³)R (1 + m/M) 

Pero por (3)

v²/R = (Gm/a²) cosb + (GM/b²) cosa

Por consiguiente (moviendo el factor de 1/c a R)

(GM/c²) (R/c) (1 + m/M) = (Gm/a²) cosb + (GM/b²) cosa

Dividiendo todo por GM nos da una de las ecuaciones, mientras que la otra es (4):

 (6)       (1/c²) (R/c) (1 + m/M) = (1/a²)(m/M) cosb + (1/b²) cosa

 (4)           (m/a²) senb = (M/b²) sena

¡Bastante complicado! No obstante, hemos atisbado la respuesta  y sospechamos que pueden pasar buenas cosas si el triángulo ABC es equilátero, si todos sus ángulos miden 60º y todos sus lados son iguales, a los que designaremos por r:

a = b = c = r

En ese caso, si las ecuaciones anteriores se multiplican por r², los factores (1/a²), (1/b²) y (1/c²) desaparecen, dando

(7)       (R/c)(1 + m/M) = (m/M)cosb + cosa

 (8)           m senb = M sena

 De aquí               m/M = sena /senb

 Substituyendo en la parte derecha de (7)

(R/c)(1 + m/M) = (sena cosb/senb) + cosa

Multiplicando por senb

           sen b (R/c)(1 + m/M) = sena cosb + cosa senb

                               = sen(a + b) = sen C = sen B

 La última igualdad proviene de que los tres ángulos (A,B,C) son iguales. 
Divida ahora ambos lados por R, y reordénelos:

sen b/[cM/(M+m)] = sen B/ R 

Esto no es más que la ley de los senos del triángulo CDB y se puede ejecutar. Trabajando hacia atrás desde aquí, se puede mostrar que todas las ecuaciones precedentes, hasta la (1) pasando por la (4), se cumplen si ABC es equilátero. Por lo tanto, C es un punto de equilibrio en el marco giratorio. Si no hubiéramos asumido que el triángulo ABC era equilátero y las distancias (a,b,c) son iguales, hubiéramos obtenido una relación diferente de la ley de los senos, uno de los cuales no sujetaría y, por consiguiente, todas las ecuaciones requeridas para el equilibrio en el punto C no se cumplirían.

 Como ya se dijo anteriormente, debido a que L4 y L5 son puntos estables de equilibrio, han sido propuestos para emplazamiento de grandes "colonias espaciales" una idea desarrollada y apoyada por el ya difunto Gerald O'Neill. En 1978 Bill Higgins y Barry Gehm incluso escribieron "La canción de L5 " como melodía de "Home on the Range" (Un hogar en el rancho). Aquí está el comienzo: 

Un hogar en Lagrange

¡Oh!, dame un lugar.
Donde se concentren los gravitones.
Donde el problema de los tres cuerpos
esté resuelto. 
Donde las microondas jueguen,
a 3 grados Kelvin.
Y donde los fríos virus,
nunca evolucionen

CORO: 
Hogar, hogar en Lagrange
Donde la basura espacial siempre recolecta ...