El procedimiento es colocar una cifra una debajo de la otra alineándolas,
de acuerdo con el valor de posición de sus cifras, de esta
manera se pueden sumar
unidades con unidades, decenas con decenas, centenas con centenas.
Si los sumandos
tienen parte decimal se procede de la misma forma, para que se puedan
sumar las décimas con las décimas, las centésimas
con las centésimas y las milésimas con las milésimas.
Propiedades de la Adición:
La
adición cumple varias propiedades que permiten realizar las
operaciones de una forma más sencilla. Estas propiedades
son:
Propiedad
conmutativa:
el orden de los sumandos no altera el resultado de la suma.
Propiedad
asociativa:
cuando una suma tiene de tres a más sumandos, se pueden realizar
sumas parciales y al final se obtiene el mismo resultado.
Elemento neutro:
En la adición, todo número sumado con cero, es igual
a sí mismo.
Sustracción
de números naturales y decimales:
Para efectuar
sustracciones o restas
de números naturales y decimales, se emplea el mismo procedimiento
que con la adición.
Ya en la primera
etapa se estudió con detenimiento cuales eran los términos
de la sustracción.
Sin embargo
recordemos que: minuendo, es la cantidad
de la cual se restará otra llamada sustraendo;
sustraendo, es la cantidad que se resta del minuendo y
diferencia,
es el resultado de la resta, es decir, el minuendo menos el sustraendo.
Sumas
y restas de fracciones
Orejitas:
Hay dos casos:
Fracciones que
tienen el mismo denominador;
Fracciones que
tienen distinto denominador
Primer
caso: la suma de dos ó más
fracciones que tienen el mismo denominador es muy
sencilla, sólo hay que sumar los numeradores y se
deja el denominador común. Ejemplo:
4
2
6
----
+
----
=
---
5
5
5
Segundo
caso: la suma de dos o más
fracciones con distinto denominador es un poco menos
sencilla. Vamos paso a paso:
1º. Se
haya el mínimo común múltiplo de los dos
denominadores
2º Se
calcula el numerador con la fórmula:
numerador antiguo x denominador común y
dividido por denominador antiguo
3º Se
procede como en el primer caso (dado que
las fracciones tienen el mimos
denominador)
Ejemplo:
3
4
----
----
4
2
1º
Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el
m.c.m. (4, 2) = 4.
2º
Calculamos los numeradores.
Numerador de la primera fracción: 3 x 4 : 4 = 3
Numerador de la segunda fracción: 4 x 4 : 2 = 8
3º
Tenemos pues una fracción que es:
3
8
----
----
4
4
como los
denominadores son idénticos podemos sumarla como en
el caso 1.
4º Suma:
3
8
11
----
+
----
=
---
4
4
4
La idea
del número fraccionario fue desarrollada no sólo por los
egipcios, sino también por los babilonios y más tarde
por los griegos seguidores del gran sabio Pitágoras,
quien vivió en el siglo VI a.C. y desarrolló una
verdadera filosofía del número.
Los
pitagóricos, como fueron llamados los seguidores de
Pitágoras, consideraban a los números no sólo como
cantidades sino como los elementos que regían al
Universo.
Los
números eran asociados a todos los fenómenos conocidos y
el Universo era concebido en términos de relaciones
matemáticas.
Si dos fracciones tienen igual denominador, se sabe que
representan porciones de una cantidad que ha sido
dividida en un mismo número de partes, o en el caso de
fracciones impropias, números naturales más una fracción
de la unidad también dividida en el mismo número de
partes. Por ejemplo:
En ambos casos, sumar estas fracciones resulta muy
sencillo, pues basta con sumar los numeradores (que
indican cuántas partes tomamos) y copiar el mismo
denominador, pues la división de la unidad sigue siendo
la misma.
Si se
quiere restar:
se puede
representar gráficamente la situación así:
Al sustraer o retirar
del área sombreada en el primer rectángulo,
evidentemente quedan
; es decir
y de nuevo
este resultado se obtiene restando los numeradores y
copiando el denominador.
Para
reflexionar: si alguien te dijera que la siguiente
operación es correcta: 5/9 + 3/9 = 8/18, ¿qué explicación le
darías para convencerle de que está equivocado?
Ahora, se
procederá a sumar dos fracciones con distinto
denominador:
Lo primero
que se intentará es encontrar fracciones equivalentes a
y a
que tengan el mismo denominador:
y .
ahora, en
lugar de sumar ,
se suman las fracciones equivalentes a éstas:
Gráficamente el proceso anterior se representa así:
al escoger fracciones equivalentes a
y a
que tengan denominador igual a 12, se está dividiendo el
rectángulo en 12 partes iguales. Esto se puede lograr
subdividiendo cada cuarta parte del primer rectángulo en
3 partes, y subdividiendo cada sexta parte del segundo
rectángulo en 2 partes:
ahora, se añaden las dos partes sombreadas del segundo
rectángulo al primero y se obtiene:
Esto se puede hacer porque 12 es múltiplo de 4 y
es múltiplo de 6:
Además,
3 = número
de subdivisiones que se hacen en cada cuarta parte.
2 = número
de subdivisiones que se hacen en cada sexta parte.
Cuando se efectúa la suma de dos fracciones que tienen
distinto denominador, se tienen que sumar fracciones
equivalentes a ellas, que tengan igual denominador. Como
se puede observar, ese denominador debe ser múltiplo de
los denominadores de las fracciones dadas.
Se sabe ya
que hay infinitas fracciones equivalentes a cualquier
fracción. Pero para simplificar los cálculos, es
conveniente sumar las fracciones más sencillas posibles.
En el primer caso, cuando se escoge al número 12 como
denominador para las fracciones equivalentes a
y a
es porque 12 = m.c.m.(4,6).
Recuérdese que esto
significa que 12 es el menor de todos los números que
son múltiplos de 4 y de 6 a la vez. Es el número que más
conviene escoger como denominador común de ambas
fracciones.
Así, dadas 2 ó más
fracciones con distinto denominador, si se quiere
sumarlas, se debe hacer lo siguiente:
1) Encontrar el m.c.m.
de todos los denominadores.
2) Hallar las
fracciones equivalentes a las dadas con denominador
igual al m.c.m. encontrado en 1).
3) Sumar esas
fracciones encontradas, que son equivalentes a las dadas.
Todo esto es útil
porque se facilitan las operaciones con fracciones
cuando están en su forma irreducible, y al sumar dos
fracciones siguiendo estos pasos, se obtiene una
fracción que está más cerca de ser irreducible que si se
tomara un denominador que no fuera el m.c.m. de todos
los denominadores.
Ejemplo: para sumar
Primero se
halla el m.c.m.(9,6); para ello se descomponen ambos
números en sus factores primos:
m.c.m..
Las fracciones equivalentes a las dadas son:
y
ahora se
suman:
en forma
abreviada, se puede proceder así:
Aquí se obtiene el 8 así:
Análogamente, el 21 se obtiene así:
Ejercicio: Realiza la siguiente suma de dos
maneras diferentes, es decir, escogiendo como
denominador común un número diferente cada vez.
5/6 + 3/10
¿Crees que
es necesario, para sumar fracciones con distinto
denominador, expresarlas antes como fracciones con el
mismo denominador? ¿por qué?
Fracciones negativas y restas de fracciones
Al
estudiar la resta de números enteros debe haber quedado
claro que esta operación se puede considerar como la
suma de un número más su opuesto. Por ejemplo:
Igualmente,
se puede considerar la resta de fracciones como la suma
de una fracción más su opuesta:
Obsérvese
que la fracción opuesta a una fracción dada es la que se
obtiene cambiándole el signo al numerador. Por ejemplo,
la fracción opuesta a
es .
al anteponer un signo "-" a un número
entero o una expresión completa, se está hablando del
opuesto a ese número o expresión. En el
caso de que esa expresión sea una fracción, se tiene
exactamente lo mismo: el opuesto de
es ,
y por lo que se acaba de decir, se tiene que
De hecho,
si a 3/4 se le suma -3/4
se obtiene:
3/4 + (-3)/4 = (3 + (-3)) / 4 = 0/4 = 0.
También se ha visto que la división de un número entre
otro da un número negativo si los números tienen signos
opuestos, y da positivo si los números tienen signos
iguales. Como las fracciones se pueden interpretar
también como divisiones, se tiene lo siguiente:
Para
reflexionar: ¿Puedes explicar por qué son iguales las
fracciones anteriores?
por otra
parte, se tiene:
Para
reflexionar: ¿puedes explicar por qué? Si no puedes, tal
vez no has comprendido bien lo que acabamos de recordar
sobre divisiones de enteros, y debes repasar este punto
antes de continuar. Este es un punto muy importante que
no debes olvidar si quieres operar correctamente con
fracciones con signos.
De manera
que aprender a restar fracciones no significa en
realidad aprender algo totalmente nuevo, si ya se saben
sumar fracciones, puesto que restar una fracción a otra
es lo mismo que sumarle a la fracción minuendo el
opuesto de la fracción sustraendo. Por ejemplo:
Si
has realizado la mayoría de estas operaciones con
éxito, felicitaciones, has logrado aprender a trabajar
con fracciones positivas y negativas. Si has tenido
muchos errores revisa de nuevo los ejemplos que se han
dado y estudia bien los procedimientos indicados. Son
realmente sencillos, pero requieren de mucha atención,
¡como todo trabajo interesante!
Resta
de Fracciones
Hay dos casos:
fracciones que
tienen el mismo denominador;
fracciones que
tienen el distinto denominador
Primer caso:
la resta de dos ó más
fracciones que tienen el mismo denominador es muy
sencilla, sólo hay que restar los numeradores y se deja
el denominador común. Ejemplo:
7
2
5
----
-
----
=
---
9
9
9
Segundo
caso: la resta de dos o más
fracciones con distinto denominador es un poco menos
sencilla. Vamos paso a paso:
1º. Se haya
el mínimo común múltiplo de los dos
denominadores
2º Se
calcula el numerador con la fórmula:
numerador antiguo x denominador común y
dividido por denominador antiguo
3º Se
procede como en el primer caso (dado que las
fracciones tienen el mismo denominador)
Ejemplo:
6
1
----
----
4
2
1º
Calculamos el mínimo común múltiplo (m. c. m.) el m.c.m.
(4, 2) = 4.
2º
Calculamos los numeradores.
Numerador
de la primera fracción: 6 x 4 : 4 = 6
Numerador de la segunda fracción: 1 x 4 : 2 = 2
3º Tenemos
pues una fracción que es:
6
2
----
----
4
4
como los denominadores
son idénticos podemos restarla como en el caso 1.
del área sombreada en el primer rectángulo,
evidentemente quedan 
; es decir
y a 
que tengan el mismo denominador: 
y 
.
,
se suman las fracciones equivalentes a éstas: 
es porque 12 = m.c.m.(4,6).
.
Las fracciones equivalentes a las dadas son: 
.
al anteponer un signo "-" a un número
entero o una expresión completa, se está hablando del
opuesto a ese número o expresión. En el
caso de que esa expresión sea una fracción, se tiene
exactamente lo mismo: el opuesto de 
,
y por lo que se acaba de decir, se tiene que 
