Si tenemos dos
grupos de elementos iguales y
deseamos saber cuantos tenemos
en total, lo que estaremos
haciendo es unir los grupos y
contar los elementos del
conjunto unión. A esa operación
se llama suma.
|
|
Si de un conjunto
de elementos retiramos algunos y
deseamos saber cuantos quedan,
lo que realizamos es una resta |
¿Que
son los Números Naturales?
Número
natural, el que sirve para designar la
cantidad de elementos que tiene un
cierto conjunto, y se llama cardinal de
dicho conjunto.
Los
números naturales son infinitos. El
conjunto de todos ellos se designa por
N:
N = {0, 1,
2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}
El cero, a
veces, se excluye del conjunto de los
números naturales.
Además de
cardinales (para contar), los números
naturales son ordinales, pues sirven
para ordenar los elementos de un
conjunto:
1º (primero),
2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…
Los
números naturales son los primeros que
surgen en las distintas civilizaciones,
ya que las tareas de contar y de ordenar
son las más elementales que se pueden
realizar en el tratamiento de las
cantidades.
Entre los
números naturales están definidas las
operaciones adición y multiplicación.
Además, el resultado de sumar o de
multiplicar dos números naturales es
también un número natural, por lo que se
dice que son operaciones internas.
La
sustracción, sin embargo, no es una
operación interna en N, pues la
diferencia de dos números naturales
puede no ser un número natural (no lo es
cuando el sustraendo es mayor que el
minuendo). Por eso se crea el conjunto Z
de los números enteros, en el que se
puede restar un número de otro,
cualesquiera que sean éstos.
La
división tampoco es una operación
interna en N, pues el cociente de dos
números naturales puede no ser un número
natural (no lo es cuando el dividendo no
es múltiplo del divisor). Por eso se
crea el conjunto Q de los números
racionales, en el que se puede dividir
cualquier número por otro (salvo por el
cero). La división entera es un tipo de
división peculiar de los números
naturales en la que además de un
cociente se obtiene un resto
Propiedades de la adicion de Numeros
Naturales
La adición
de números naturales cumple las
propiedades asociativa, conmutativa y
elemento neutro.
1.-
Asociativa:
Si a, b, c
son números naturales cualesquiera se
cumple que:
(a + b) +
c = a + (b + c)
Por
ejemplo:
(7 + 4) +
5 = 11 + 5 = 16
7 + (4 +
5) = 7 + 9 = 16
Los
resultados coinciden, es decir,
(7 + 4) +
5 = 7 + ( 4 + 5)
2.-Conmutativa
Si a, b
son números naturales cualesquiera se
cumple que:
a + b = b
+ a
En
particular, para los números 7 y 4, se
verifica que:
7 + 4 = 4
+ 7
Gracias a
las propiedades asociativa y conmutativa
de la adición se pueden efectuar largas
sumas de números naturales sin utilizar
paréntesis y sin tener en cuenta el
orden.
3.-
Elemento neutro
El 0 es el
elemento neutro de la suma de enteros
porque, cualquiera que sea el número
natural a, se cumple que:
a + 0 = a
Propiedades de la Multiplicacion de
Numeros Naturales
La
multiplicación de números naturales
cumple las propiedades asociativa,
conmutativa, elemento neutro y
distributiva del producto respecto de la
suma.
1.-Asociativa
Si a, b, c
son números naturales cualesquiera se
cumple que:
(a · b) ·
c = a · (b · c)
Por
ejemplo:
(3 · 5) ·
2 = 15 · 2 = 30
3 · (5 ·
2) = 3 · 10 = 30
Los
resultados coinciden, es decir,
(3 · 5) ·
2 = 3 · (5 · 2)
2.-
Conmutativa
Si a, b
son números naturales cualesquiera se
cumple que:
a · b = b
· a
Por
ejemplo:
5 · 8 = 8
· 5 = 40
3.-Elemento neutro
El 1 es el
elemento neutro de la multiplicación
porque, cualquiera que sea el número
natural a, se cumple que:
a · 1 = a
4.- Distributiva del producto respecto
de la suma
Si a, b, c
son números naturales cualesquiera se
cumple que:
a · (b +
c) = a · b + a · c
Por
ejemplo:
5 · (3 +
8) = 5 · 11 = 55
5 · 3 + 5
· 8 = 15 + 40 = 55
Los
resultados coinciden, es decir,
5 · (3 +
8) = 5 · 3 + 5 · 8
Propiedades de la Sustraccion de
Numeros Naturales
Igual
que la suma la resta es una operación
que se deriva de la operación de contar.
Si
tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2
ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?. Una
forma de hacerlo sería volver a contar
todas las ovejas, pero alguien que
hubiese contado varias veces el mismo
caso, recordaría el resultado y no
necesitaría volver a contar las ovejas.
Sabría que 6 - 2 = 4.
Los
términos de la resta se llaman minuendo
(las ovejas que tenemos) y sustraendo
(las ovejas que se comieron los lobos).
Propiedades de la resta:
La
resta no tiene la propiedad conmutativa
(no es lo mismo a - b que b - a)
Propiedades de la
Division de Numeros Naturales
La
división es la operación que tenemos que
hacer para repartir un numero de cosas
entre un número de personas.
Los
términos de la división se llaman
dividendo (el número de cosas), divisor
(el número de personas), cociente (el
numero que le corresponde a cada
persona) y resto (lo que sobra).
Si el
resto es cero la división se llama
exacta y en caso contrario inexacta.
Propiedades de la división
La
división no tiene la propiedad
conmutativa. No es lo mismo a/b que b/a.
