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Olvida todo lo que
sabes sobre números. Olvídate de que sabes lo que es un número. Aquí
es donde empiezan las matemáticas. En vez de matemáticas con
números, vamos a hacer matemáticas con "cosas".
Definición
¿Qué es un conjunto? Bueno, por
decirlo de una manera simple es una colección. Primero eliges
una propiedad común a unas "cosas" (esto lo definiremos luego) y
después reúnes las "cosas" que tienen esa propiedad.
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Por ejemplo, la ropa que
llevas: podrían ser zapatos, calcetines, sombrero, camisa,
pantalones y otras cosas.
Seguro que a ti se te
ocurrirían cien por lo menos.
Esto es un conjunto.
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Otro ejemplo
sería tipos de dedos.
Este conjunto
tendría pulgar, índice, medio, corazón y meñique. |
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Así que son sólo cosas juntas que
tienen una misma propiedad.
Notación
Hay una notación para conjuntos
bastante simple. Los dos ejemplos de arriba son:
{calcetines,
zapatos, relojes, faldas, ...}
{pulgar, índice, medio, corazón, meñique}
Fíjate que uno tiene "...". Esto
sólo quiere decir que el conjunto sigue indefinidamente. A lo mejor
no hay infinitas cosas distintas que ponerse, pero no estoy seguro
de eso. Después de pensarlo durante una hora, todavía no estoy
seguro. El primer conjunto es un conjunto infinito, el
segundo es un conjunto finito.
Conjuntos de números
¿Qué tiene esto que ver con
matemáticas? Cuando definimos un conjunto, todo lo que hace falta es
una propiedad común. ¿Quién dice que no se puede hacer lo mismo con
números?
Conjunto de números pares: {...,
-4, -2, 0, 2, 4, ...}
Conjunto de números impares: {..., -3, -1, 1, 3, ...}
Conjunto de números primos: {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...}
Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}
Y la lista sigue. Podemos inventar
muchos conjuntos distintos.
También hay conjuntos de números
que no cumplen una propiedad común, simplemente se definen así.
Por ejemplo:
{2, 3, 6, 828, 3839, 8827}
{4, 5, 6, 10, 21}
{2, 949, 48282, 42882959, 119484203}
Todos estos conjuntos los he
escrito aporreando mi teclado sin mirar.
¿Por qué son importantes los
conjuntos?
Los conjuntos son los ladrillos
fundamentales de las matemáticas. Es verdad que los conjuntos, por
sí solos, no parecen nada del otro mundo. Pero cuando los aplicas en
distintas situaciones es cuando se convierten en los bloques con los
que las matemáticas se construyen.
Las
matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de grafos,
álgebra astracta, análises real, análisis complejo, álgebra lineal,
teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que
todas estas partes de las matemáticas tienen en común: los
conjuntos.
Las
matemáticas se pueden complicar mucho rápidamente. Teoría de grafos,
álgebra astracta, análises real, análisis complejo, álgebra lineal,
teoría de números, y la lista sigue y sigue. Pero hay una cosa que
todas estas partes de las matemáticas tienen en común: los
conjuntos.
Conjunto universal
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Al principio
usamos la palabra "cosas" entre comillas. Esto se llama el
conjunto universal. Es un conjunto que contiene todo.
Bueno, No todo de verdad. Todo lo que tiene que
ver con el problema que tienes entre manos. |
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Hasta ahora,
los conjuntos que te he dado contenían números enteros. Así
que el conjunto universal aquí serían los enteros. De hecho,
cuando uno hace Teoría de Números, casi siempre ese es el
conjunto universal, porque la Teoría de Números es la parte
de las matemáticas que estudia los enteros. |
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Sin embargo en
Análisis Real, el conjunto universal es casi siempre los
números reales. Y en Análisis Complejo, el conjunto
universal es los números complejos. |
Más notación
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Cuando hablamos de
conjuntos, es normal usar letras mayúsculas para llamar
al conjunto, y letras minúsculas para los elementos de
ese conjunto.
Así que por ejemplo A es un conjunto, y a es un elemento
de A. Lo mismo con B y b, y con C y c. |
No pasa nada si no sigues esa
regla, puedes usar algo como m para representar un
conjunto sin romper reglas matemáticas (ojo, pasarás
π
años en la cárcel por dividir entre 0), pero esta notación es fácil
de seguir, así que ¿por qué no usarla?
También, cuando decimos que un
elemento a está en un conjunto A, usamos el símbolo
 para
mostrarlo.
Y si algo no está en un conjnto usamos
 .
Ejemplo: el conjunto A
es {1,2,3}. Como puedes ver 1
A,
pero 5
A
Igualdad
Dos conjuntos son iguales si tienen
exactamente los mismos miembros. Quizás no parezcan iguales a
primera vista, ¡tienes que mirarlos bien!
Ejemplos: Son A y B iguales si:
- A es el conjunto de los
cuatro primeros enteros positivos
- B = {4, 2, 1, 3}
Vamos a verlo. Los dos
contienen 1. Y 2. Y 3, y 4. Y ya hemos comprobado los elementos
de los dos conjuntos, así que: ¡Sí, son
iguales!
Y el signo igual (=) se usa
precisamente para indicar igualdades, así que escribimos:
A = B
Subconjuntos
Cuando definimos un conjunto, si
tomamos partes de él tenemos algo que se llama un subconjunto.
Así que por ejemplo tenemos el
conjunto {1, 2, 3, 4, 5}. Un subconjunto suyo es {1, 2, 3}. Otro
subconjunto es {3, 4} y otro es {1}. Sin embargo, {1, 6} no es un
subconjunto, porque contiene un elemento (el 6) que no está en el
conjunto grande. En general:
A es
subconjunto de B si y sólo si cada elemento de A está en B.
Así que vamos a usar esta
definición en algunos ejemplos.
¿Es A subconjunto de B, si A =
{1, 3, 4} y B = {1, 4, 3, 2}?
1 está A, pero 1 también está
en B. Por ahora bien. 2 está en B, pero no en A. Pero recuerda
que eso no importa, sólo hay que mirar los elementos de A. 3
está en A y también en B. Falta uno más. 4 está A, y en B. Esos
son todos los elementos de A, y están todos en B, así que ya
está.
Vamos a intentar un ejemplo más
difícil.
Sean A todos los múltiplos de
4 y B todos los múltiplos de 2. ¿Es A un subconjunto de B? ¿Es B
un subconjunto de A?
Bueno, no se pueden comprobar
todos los elementos de estos conjuntos, porque hay infinitos
elementos. Así que tenemos que hacernos una idea de cómo son los
elementos en cada uno, y comparar.
Para representar un múltiplo de
2, usamos 2n, donde n es un entero. Y hacemos lo mismo con los
múltiplos de 4: son 4m, donde m es entero. Así que si tenemos un
número 4m, ¿lo podemos escribir como un múltiplo de 2, con la
forma 2n? ¡Claro que podemos!
Sabemos que 4 = 2x2, así que 4m
= 2x2m, o mejor 2(2m). También sabemos que 2m es un entero. Así
que vamos a llamar a = 2m, donde a es un entero. Entonces
podemos decir que 4m = 2x2m = 2(2m) = 2(a). Como a es un entero,
2a es prácticamente lo mismo que 2n. Quiero decir, lo único que
pasa es que usamos otra letra, pero no importa qué letra usemos.
Así que A es un subconjunto de B.
¿Pero es B un subconjunto de A?
Bueno, podemos probar a hacer lo mismo. Tenemos 2n y queremos
que sea como 4m. Una manera de hacer eso sería multiplicarlo por
2 para que tengamos 2x2n o lo que es lo mismo 4n. Pero recuerda
lo de arriba, sólo podemos usar el signo igual. Si multiplicas
un número por 2, ya no es igual a lo que era. Así que nos hemos
topado con un muro. No parece que 2n se pueda hacer parecido a
4m. ¿A lo mejor lo que queremos es falso? Vamos a probar lo
contrario, a ver si es verdad que B no es subconjunto de A.
¿Cómo lo haríamos? Bueno, nos basta encontrar un elemento de B
que no esté en A. Todo lo que hay que hacer es buscar un
elemento así. Queremos un múltiplo de 2 que no sea múltiplo de
4. Pero de hecho, 2 es múltiplo de 2, pero no es múltiplo de 4.
Así que 2 está en B pero no en A, y entonces B no es subconjunto
de A.
Subconjuntos propios
Si nos fijamos en la definición de
subconjunto y dejamos que nuestra mente trabaje un poco, llegamos a
una conclusión rara. Digamos que A es un conjunto. ¿Es verdad
que todo elemento a de A también es un elemento de
A? Bueno, está claro que sí, ¿no? ¿Y eso no significa que A
es un subconjunto de A? Esto no parece muy correcto, ¿no?
Queremos que nuestros subconjuntos sean propios. Así que
introducimos la definición de subconjuntos propios.
A es un subconjunto propio de B si
y sólo si cada elemento de A está en B, y existe por lo menos un
elemento de B que no está en A.
Esta pequeña parte del final es la
que hace que A no sea un subconjunto propio de sí mismo. Por lo
demás, un subconjunto propio es lo mismo que un subconjunto normal.
Así que por ejemplo, {1, 2, 3}
es un subconjunto de {1, 2, 3}, pero no es un subconjunto
propio de {1, 2, 3}.
Por otra parte, {1, 2, 3} es
un subconjunto propio de {1, 2, 3, 4} porque el
elemento 4 no está en el primer conjunto.
Fíjate en que si A es un
subconjunto propio de B, entonces también es un subconjunto de B.
Más notación
Cuando decimos que A es un
subconjunto de B, escribimos A
 B.
O podemos decir que A no es
subconjunto de B: A
 B ("A no es
subconjunto de B")
Cuando hablamos de subconjuntos
propios, quitamos la línea de debajo y queda A
 B o para
decir lo contrario, A
 B.
Conjunto vacío
Probablemente esto es lo más raro
que tienen los conjuntos.
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Por ejemplo,
piensa en el conjunto de teclas de piano que tiene una
guitarra.
"¡Pero espera!" seguro que
dices, "¡Una guitarra no tiene teclas!"
Y tienes toda la razón.
Este conjunto no tiene elementos.
A este conjunto se le llama
conjunto vacío. No tiene elementos. Ni uno.
Se representa como
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Otro ejemplo de conjunto vacío es
el conjunto de países al sur del polo sur.
¿Y qué es tan extraño sobre el
conjunto vacío? Bueno, esa parte viene ahora.
El conjunto vacío y subconjuntos
Volvamos a la definición de
subconjunto. Tenemos un conjunto A. No decimos más de él, podría ser
cualquier conjunto. ¿El conjunto vacío es subconjunto de A?
Volviendo a la definición de
subconjunto, si todo elemento del conjunto vacío también está en
A, entonces el conjunto vacío es subconjunto de A. ¿Pero y si
no hay elementos?
Hay falta aprender algo de lógica
para entender esto, pero esa frase es verdadera de manera "vacía" o
"trivial". Piénsalo de esta manera: no podemos encontrar
elementos en el conjunto vacío que no estén en A, así que todos
los elementos del conjunto vacío están en A.
Así que la respuesta a la pregunta
que hicimos es un sonoro sí.
El conjunto vacío es subconjunto de
todos los conjuntos, incluído él mismo.
Cardinal
Todo conjunto tiene una propiedad
asociada llamada cardinal. Es simplemente el tamaño del
conjunto.
De la misma manera que hay
conjuntos finitos e infinitos, estos tienen cardinal finito e
infinito. Para conjuntos finitos, lo representamos con un número, el
número de elementos. Por ejemplo, {1, 2, 3, 4} tiene cardinal 4.
Sobre conjuntos infinitos, sólo podemos decir que tienen cardinal
infinito. Aunque parezca raro, hay infinitos más grandes que otros,
pero este es un tema avanzado en teoría de conjuntos.
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