Introducción a los grupos

Conjuntos Antes de leer esta página, por favor asegurate de haber leido: la introducción a los conjuntos. Así que ahora deberían de sonarte cosas como estas: Conjunto de ropas: {calcetines, zapatos, faldas, ...} Conjunto de números pares: {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} Múltiplos positivos de 3 que son menores que 10: {3, 6, 9}

Operaciones

Ahora que tenemos elementos en conjuntos estaría bien hacer cosas con ellos. En concreto, nos gustaría combinarlos de alguna manera. Esto es para lo que valen las operaciones. Una operación toma elementos de un conjunto, los combina de alguna manera, y produce otro elemento. o, de manera más simple: Una operación combina elementos de un conjunto.

Y para los que seáis un poco artistas, podemos usar la pintura como ejemplo. Digamos que tenemos el conjunto de colores {rojo, amarillo, azul}. Ahora tenemos que definir una operación, y la que tiene más sentido es mezclar. Por ejemplo, mezclar rojo y amarillo da azul, y rojo con azul da violeta.
Pero decir "mezclar rojo y azul da violeta" es muy largo y molesta. Hay que escribir mucho, así que lo vamos a simplificar. Voy a indicar "mezclar" con + y "da" con =. Así que "mezclar rojo y azul da violeta" se convierte en "rojo + azul = violeta".

Operaciones binarias

Hasta ahora hemos sido muy generales. Vamos a ser más específicos. Una operación binaria es sólo una operación, pero que toma 2 elementos, ni más ni menos, y los combina en uno.

Ya conoces unas cuantas operaciones binarias, aunque no sabías que las conoces:

• 5 + 3 = 8
• 4 × 3 = 12
• 10 - 4 = 6
• 5 / 5 = 1

Todas estas toman dos enteros y los combinan de diferentes maneras para conseguir un número. Fíjate en el último ejemplo, 5 / 5 = 1. También toma dos elementos, incluso cuando son el mismo.

Arriba parece que haya 4 operaciones. ¡En un momento verás que en realidad hay sólo dos!

Bien definidas

Algo importante con las operaciones es que tienen que estar bien definidas. O sea, hay que definirlas bien. Piensa en lo que significan las palabras "bien definida". Si una palabra está bien definida en español, sabes lo que significa exactamente cuando la dices.

• La palabra "enfadado" está bien definida, porque sabes exactamente lo que significa cuando se usa.
• Pero si digo la palabra "casa", ¿estoy hablando de donde vivo o de una boda?

Ahora aplicamos esto a las matemáticas. Si te doy dos números y una operación bien definida, serás capaz de decirme exactamente cuál es el resultado.

Pero hay otras operaciones que parecen bien definidas y no lo son.

Con operaciones bien definidas, sólo hay una respuesta posible.

Una cosa más sobre operaciones, muchas veces usaremos x para escribir una operación. No queremos decir multiplicación, aunque también la escribimos así. Pero normalmente será "alguna operación". Cuando sea la multiplicación estará bien claro.

Introducción a los grupos

Ahora que entendemos bien los conjuntos y operadores, estas son las cosas que necesitamos para tener grupos. Simplemente:

Un grupo es un conjunto combinado con una operación

Por ejemplo el conjunto de los enteros con la suma.

Pero es más complicado que eso. No podemos decir mucho si sólo sabemos que hay un conjunto y una operación. ¿Qué más podemos decir? Necesitamos más información sobre el conjunto y la operación. Por eso los grupos tienen que cumplir más condiciones. Es decir, cumplen algunas propiedades.

Definición formal de grupo

Vamos a verlas una a una:

1. El grupo tiene un elemento neutro (también se le llama la identidad). Si usamos la operación con el elemento neutro y otro elemento, siempre nos devuelve el otro elemento. Para los enteros y la suma, el elemento neutro es "0" porque 5+0 = 5 y 0+5 = 5

Es decir, los otros elementos no cambian cuando se combinan con él.

Sólo hay un elemento neutro en cada grupo (¡piénsalo!)

El símbolo para el elemento neutro es e, o a veces 0. Por eso tienes que empezar a pensar en 0 como un símbolo en lugar de un número. 0 es sólo el símbolo de la identidad, igual que e. Se define así. De hecho, muchas veces los matemáticos usan 0 en lugar de e porque es más natural.

2. El grupo tiene inversos. Si tomamos cualquier elemento en el grupo, hay otro elemento que cumple que al usar la operación con ellos, obtenemos e, la identidad.   Para los enteros y la suma, el inverso de 5 es -5 (porque 5 + -5 = 0)

De la misma manera, para los enteros negativos, los inversos son positivos. -5 + 5 = 0, así que el inverso de -5 es 5. De hecho, si a es el inverso de b, se cumple que b es el inverso de a.

Los inversos son únicos. Por ejemplo, no existe ningún otro número x que cumpla que 5 + x = 0 aparte de -5.

Fíjate en que, aunque sólo haya un elemento identidad para todos los elementos del grupo, cada uno tiene un inverso diferente.

La notación que se usa para los inversos es a^-1. Así que en el ejemplo de arriba, a^-1 = b. De la misma manera, si hablamos de enteros y la suma, 5^-1 = -5.

3. Asociatividad. Deberías haber aprendido la propiedad asociativa antes, en álgebra básica. Sólo significa que no importa el orden en que hacemos varias operaciones encadenadas. a x (b x c) = (a x b) x c

Fíjate en que sigue siendo a...b...c. Lo único que cambia son los paréntesis. Volveremos a esto luego...

4. Cerrado con respecto a la operación. Imagina que estás encerrado en una caja gigante. Como estás dentro, no puedes salir. De la misma manera, cuando tengas dos elementos cualquiera del grupo, no importa cuáles, la operación no te sacará del grupo

Si tenemos dos elementos en el grupo, a y b, se tiene que cumplir que axb está en el grupo. Esto es lo que significa cerrado. Se dice cerrado porque hacer operaciones no te saca del grupo.

Igual que antes, los enteros y la suma cumplen esto. Si x e y son enteros, x + y = z, y entonces z también es entero.

Así que si tienes un conjunto y una operación, y se cumplen todas las condiciones que hemos explicado, lo que tienes es un grupo.

Sólo dos operaciones

	Al principio del todo, te enseñamos cuatro operaciones diferentes que se usan con números: + - × / Pero en realidad sólo hay dos.
	Cuando restamos números, decimos "a menos b" porque es corto. Pero lo que queremos decir en realidad es "a más el inverso aditivo de b". El signo menos sólo indica el inverso aditivo (el inverso de la operación suma). Pero se hace muy largo decirlo así todo el tiempo, así que sólo decimos "menos".
¿Puedes adivinar qué es la división? De la misma manera, significa "multiplicación por el inverso multiplicativo".
¡Así que sólo hay la suma y la multiplicación!

¡La hora de los ejemplos!

¡Uau! ¿Confundido? Seguramente sí. Aquí te damos unos ejemplos.

Ejemplo 1: Suma y {0}

Bueno, este ejemplo es un poco raro. Vamos a ver los cuatro pasos de todas maneras. Busquemos la identidad. Bueno, eso es fácil. Si sumamos 0 a cualquier cosa en el grupo, sale 0, porque es el único elemento que existe. Es decir, 0 + 0 = 0, y ya tenemos la identidad.

Ahora necesitamos encontrar inversos. Bueno, sólo tenemos un elemento. ¿Cuál es el inverso de 0? Queremos que 0 + 0^-1 = 0. Bien, 0 + 0 = 0, así que 0^-1 = 0. Como esos eran todos los elementos, ya está.

¿Asociativa? ¿a + (b + c) = (b + c) + a? Bueno, como sólo hay un elemento, a = b = c = 0. ¿Es verdad que 0 + (0 + 0) = (0 + 0) + 0? Claro.

Finalmente, ¿es cerrado? Si tomamos cualesquiera elementos a y b, ¿a + b está en el grupo? Cómo sólo hay un elemento, a = 0 y b = 0. ¿Está 0 + 0 en el grupo? Claro que sí. Así que es cerrado.

Así que {0} es un grupo con respecto a la suma.

Ejemplo 2: Multiplicación y {-1, 1}

De vuelta a los cuatro pasos. Primero, ¿hay una identidad? Bueno, esto es fácil porque sólo hay tres posibilidades:

• -1 es la identidad,
• 1 es la identidad,
• o no hay.

1x-1 = -1 y -1x1 = -1. También 1x1 = 1. Así que parece que 1 es la identidad. Nos lo podíamos haber imaginado.

Ahora buscamos inversos. Si tenemos a en el grupo, tenemos que encontrar a^-1 que cumpla a x a^-1 = 1 (o también podemos escribir e). Empezamos por 1.

1 x 1 = 1, así que si a = 1, a^-1 = 1 también. Ahora, -1 x -1 = 1. Así que si a = -1, ¡a^-1 = -1 también! Como hemos encontrado inversos para todos los elementos del grupo, la segunda parte está completa.

¿Es asociativo? a x (b x c) = (a x b) x c. Bien, como sólo hay 2 números, podemos probar todas las combinaciones. Si realmente quieres, puedes hacerlo. Pero debería estar bastante claro que es verdad.

Finalmente, ¿es cerrado? ¿1x1 está en el grupo? Sí. ¿Y 1 x -1? Sí. ¿Y -1 x -1? Sí. Y la última, ¿-1 x 1? Claro. Así que es cerrado con esta operación.

¡Y terminamos! {-1, 1} es un grupo con respecto a la multiplicación.

Ejemplo 3: los enteros y la suma

Piensa en los enteros. ¿Cuál es la identidad cuando sumas enteros? Queremos encontrar un e que cumpla a + e = e + a = a. Vale, ya lo sabías. 0 es la identidad. Esto es porque a + 0 = 0 + a = a, para cualquier entero a.

Siguiendo con los enteros, digamos que tenemos un número a. ¿Puedes encontrar su inverso? Es decir, ¿existe un a^-1 que cumple que a + a^-1 = a^-1 + a = e? Por ejemplo, ¿5 + 5^-1 = 0? ¿Qué número es 5^-1? La respuesta es-5. Siempre es verdad que a + -a = e, para los enteros.

Si sumamos dos enteros, ¿la suma es un entero? Sí. Así que es cerrado.

Finalmente, ¿a + (b + c) = (a + b) + c? ¡Sí! Así que ya ves, los enteros son un grupo con respecto a la suma.

Ejemplo 4: Enteros y multiplicación

Volvamos a los cuatro pasos. Primero hay que encontrar la identidad. Así que queremos que a x e = e x a = a. Por ejemplo 5 x e = 5. ¿Qué sería e? 1, claro.

Ahora tenemos que averiguar si los enteros con la multiplicación tienen inversos. Así que si tomamos un entero a, ¿podemos encontrar a^-1 que cumpla a x a^-1 = e? Probamos otra vez con 5: 5 x 5^-1 = 1. ¿Qué es 5^-1? Es 1/5.
¡Pero no es entero! ¡Ahhhh! No todos los enteros tienen inversos multiplicativos, así que no pueden ser un grupo con respecto a la multiplicación.

Hemos visto que con una operación, los enteros son un grupo, y con otra operación no.

¿Para qué grupos?

¿Qué nos importan los grupos? Bueno, es una pregunta difícil de contestar. No porque sea una pregunta mala, sino porque las aplicaciones de los grupos son muy avanzadas.

Por ejemplo, se usan en las tarjetas de crédito para asegurarse de que los números son correctos cuando se envían.
Se usan en las sondas espaciales para saber si los datos que mandan tienen errores, y para corregirlos. Hasta se pueden usar para decir qué polinomios tienen soluciones que podamos calcular.

Aquí tienes una buena razón:

Resolver ecuaciones

Resulta que las propiedades especiales de los grupos están muy relacionadas con soluciones de ecuaciones. Si tenemos axx = b, donde a y b están en un grupo G, las propiedades del grupo nos eicen que sólo hay una solución x, y que esa solución también está en G.

Como a^-1 y b están en G, a^-1 x b también debe estar en G.

También, como el operador x está bien definido, la solución debe ser única. Si no, el operador no estaría definido con exactitud, ¿verdad?

Un tipo especial de grupos: abelianos

Si a x e = a, ¿no significa que e x a = a?

Y también, si a x b = e, ¿no es verdad que b x a = e?

Bueno, de hecho, sí que lo son. Pero hay que tener cuidado porque en general, no es verdad que
a x b = b x a. Cuando es verdad que a x b = b x a para todos los a y b en el grupo, llamamos a ese grupo abeliano.

Esto se cumple para los enteros con la suma, y por eso decimos que el grupo de los enteros con la suma es un grupo abeliano.