Definición y
áreas de interés
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POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
La potenciación
es el producto de varios factores iguales. Para abreviar la
escritura, se escribe el factor que se repite y en la parte
superior derecha del mismo se coloca el número de veces que
se multiplica. La operación inversa de la potenciación se denomina
radicación.
Cuando se multiplica un número natural por sí mismo, por
ejemplo,
, hay otra manera de expresar ese producto:
Y se lee
"3 al cuadrado", o "3 a la 2".
La
costumbre de decir "3 al cuadrado" es muy antigua, y la
razón por la cual se dice así, tiene que ver con la
geometría.
Si se
tiene un cuadrado cuyo lado mide 3 unidades, su área es
:
El área de cualquier cuadrado es igual al lado
multiplicado por sí mismo, es decir, al cuadrado de
la medida de su lado.
En los
tiempos de la Grecia Antigua, gran parte de las
ideas matemáticas eran estudiadas a través de la
Geometría, y por eso, cuando se quería encontrar una
representación geométrica de algo tan sencillo como
el producto de dos números, digamos,
, lo que hacían era dibujar un rectángulo de lados
y
, y así, veían el producto
como el área del rectángulo que acababan de dibujar.
De la
misma manera, el producto
era visto como el área de un cuadrado de lado
, y esta manera de ver las cosas continuó por
mucho tiempo, de manera que el número
, se siguió llamando "el cuadrado de 5", o "5 al
cuadrado".
También se tiene que
, que es igual a
, se lee: "2 al cubo", y la razón para esto proviene
también de la visión que tenían los griegos de la
Matemática asociada a la Geometría.
Si
tenemos un cubo de arista 2:
su volumen es igual a
. Es por esto que aún hoy se lee "2 al cubo", o " 2
elevado al cubo''.
El proceso de multiplicar a un número por sí mismo una
cierta cantidad de veces, se llama potenciación.
En el
caso de ,
se tiene que
es llamado la BASE, y es el número que se multiplica por
sí mismo.
es el EXPONENTE, el número de veces que se multiplica a
la base por sí misma.
Debe
observarse con cuidado que :
pues
y
La potenciación tiene unas propiedades muy importantes
que se estudiarán a continuación.
Propiedad 1
Si se
multiplican dos potencias con igual base, como por
ejemplo:
se está realizando lo siguiente:
Como el
producto es asociativo, esto se puede expresar así:
y esto es
igual a
Por eso, se puede decir que
Propiedad 2
La
segunda propiedad se refiere a la potencia de una
potencia, es decir, la operación de elevar un número
a una potencia, y el resultado se eleva a otra
potencia, por ejemplo:
Según
la primera propiedad ya vista,
En
resumen,
Propiedad
3
Al
realizar el siguiente producto, elevado a una potencia:
se tiene
que la última igualdad es cierta porque el producto es
conmutativo y asociativo, y finalmente
De manera
que se tiene:
Propiedad
4
La propiedad que sigue ahora es muy sencilla, pero muy
importante:
Todo
número elevado al exponente
es igual a
. Por ejemplo:
No importa
cuál sea la base, si el exponente es
, se obtiene
como resultado.
La razón
es muy sencilla: si debe cumplirse
siempre la propiedad 1, entonces , por ejemplo:
Es decir,
multiplicar a
por
es lo mismo que multiplicarlo por
, porque al final se obtiene como resultado el mismo
número
. Eso quiere decir que
.
Se puede observar ahora lo que ocurre cuando se
multiplican potencias con distintas bases y distintos
exponentes.
En este
caso, no hay ninguna propiedad especial de la
potenciación que permita escribir este producto de
potencias de otra manera que facilite el cálculo.
Sin
embargo, hay casos de multiplicación de potencias de
distinta base, en los cuales sí se puede aplicar alguna
propiedad de la potenciación, como el siguiente:
Aún siendo
distintas las bases, una de ellas es potencia de la otra
(
), entonces la expresión sí se puede escribir de una
manera más sencilla, utilizando las propiedades de la
potenciación:
Ahora te
invitamos a que tomes una hoja de papel y escribas las
siguientes expresiones de manera distinta a la dada,
usando las propiedades de la potenciación estudiadas
hasta ahora:
Se han
visto hasta ahora propiedades de la potenciación que se
refieren a productos de potencias. Se mostró cómo una
expresión se puede escribir de una manera más sencilla
usando estas propiedades. Es muy natural que se puedan
hacer esos cambios, porque la potenciación no es más que
una forma abreviada de expresar una multiplicación, y al
multiplicar potencias, lo que se hace es multiplicar
productos, es decir se está siempre
multiplicando.
En cambio,
cuando se combina la potenciación con la suma o la resta,
se están realizando operaciones diferentes y NO siempre
se puede aplicar alguna de las propiedades vistas hasta
ahora. Por ejemplo:
Si se
quieren sumar dos potencias de igual base:
Se observa
que esta operación indica lo siguiente:
Aquí están
expresadas dos operaciones: la suma y el producto. La
manera más sencilla y directa de realizar estas
operaciones es simplemente calcular primero las
potencias y luego sumarlas. De manera que la expresión
más sencilla para la operación anterior es
tal como
se escribió al principio.
Otro caso
en el que debe tenerse cuidado es en la suma de
potencias como las siguientes:
Es
muy importante convencerse para siempre de que
La manera
más segura de convencerse es calculando ambas
operaciones:
Por otro
lado
Es
evidente, entonces, que ,
pues
.
Un
argumento geométrico útil para convencerse de que
es el siguiente:
Se tiene un cuadrado de lado 3 y un cuadrado de
lado 7.
Se suman sus áreas
Esta suma
es igual a
.
Ahora, a esta figura se le añade lo que hace falta para
obtener un cuadrado de lado
, de la siguiente manera:
¿Qué se
obtiene? El cuadrado nuevo tiene lado
y su área, como se sabe , es igual a .
Se han
tenido que añadir rectángulos a la
figura original, cuya área es ,
para obtener un área igual a ,
y eso asegura que estas dos cantidades no son iguales.
La
potenciación y sus propiedades tienen gran importancia
en las Matemáticas. Hay una leyenda muy interesante
acerca del inventor del ajedrez que muestra lo inmensa
que puede ser una cantidad obtenida a través de la
potenciación.
Para reflexionar:
¿Podrías terminar de
llenar el tablero usando sólo números que son potencia
de 2? Explica.
El número
de granos requeridos por Sessa es igual a la suma de
todos los números que aparecen en el tablero que acabas
de llenar.
Veamos
ahora cómo podemos calcular la suma de todos los números
del tablero de ajedrez.
Según lo
que hemos visto hasta ahora, podemos escribir:
Los puntos suspensivos significan que se seguirán
sumando todas las demás potencias de 2, hasta llegar a
.
¿Sabes
por qué la igualdad anterior es cierta?
Si no
puedes responder alguna de las preguntas anteriores
regresa al tablero que llenaste y lee de nuevo
cuidadosamente lo que hemos observado después. Es
importante tener claro lo hecho hasta aquí para
comprender con facilidad lo que sigue.
Ahora
podemos calcular la suma de los números del tablero.
Como:
Y la
cantidad que está dentro del paréntesis es exactamente
la suma de los números del tablero, eso quiere decir que:
es el número siguiente a
Por lo
tanto, el número de granos que Sessa le pidió al Rey es
igual a:
Para
calcular
, usaremos las propiedades de la potenciación.
En primer
lugar,
¿Por qué?
Además, usando la misma propiedad de nuevo tenemos:
Por lo
tanto:
Calcula ahora
sin utilizar la calculadora, pero usando la propiedad
que usamos ya dos veces.
Comprueba ahora que:
Explica cómo se calculó la potencia
y señala por qué aparecieron los factores del lado
derecho de la igualdad anterior.
En
definitiva, para ahorrarte este cálculo final, que es
realmente largo, te diremos que:
Por lo tanto, la cantidad de granos de trigo que pidió
Sessa al Rey es:
, hay otra manera de expresar ese producto: 
, lo que hacían era dibujar un rectángulo de lados 
y 
, y así, veían el producto 
era visto como el área de un cuadrado de lado 
, se siguió llamando "el cuadrado de 5", o "5 al
cuadrado". 
, que es igual a 
, se lee: "2 al cubo", y la razón para esto proviene
también de la visión que tenían los griegos de la
Matemática asociada a la Geometría. 
. Es por esto que aún hoy se lee "2 al cubo", o " 2
elevado al cubo''. 
es llamado la BASE, y es el número que se multiplica por
sí mismo. 
es el EXPONENTE, el número de veces que se multiplica a
la base por sí misma. 
y 
Por eso, se puede decir que
es igual a 
. Por ejemplo: 
es lo mismo que multiplicarlo por 
. 
), entonces la expresión sí se puede escribir de una
manera más sencilla, utilizando las propiedades de la
potenciación: 
,
pues 
. 
.
, de la siguiente manera: 
y su área, como se sabe , es igual a 
.
,
y eso asegura que estas dos cantidades no son iguales.
. 
es el número siguiente a 
sin utilizar la calculadora, pero usando la propiedad
que usamos ya dos veces. 
