En
el siglo XVI d.C., los matemáticos europeos
comenzaron a notar la facilidad con la cual se
efectuaban los cálculos con números
fraccionarios cuyos denominadores fueran
potencias de 10. Por ejemplo:
Naturalmente, para sumar las fracciones
anteriores basta con tomar 10.000 como
denominador común y se obtiene
Este tipo de fracción se llama fracción decimal.
Un
ingeniero y matemático holandés llamado Simón Stevin
inventó en el S. XVI un método para hacer cálculos con
fracciones decimales sin usar el denominador. Por
ejemplo, escribía
como
como
como
Al sumar
estos números, obtenía
Aunque su método no llegó a usarse mucho, su idea fue
tomada por un gran matemático escocés, Napier, quien
desarrolló, a partir de la proposición de Stevin, otra
manera de escribir las fracciones decimales.
Al
principio, colocó una línea debajo de los dígitos del
numerador, de esta manera:
Finalmente, ya en 1617, Napier propuso el uso de una
coma o un punto para separar la parte entera de la parte
decimal:
Esta
última idea de Napier fue la que se adoptó
definitivamente para escribir los que hoy se llaman
números decimales.
Sabiendo que el origen de
la escritura de los números decimales está vinculado a
la necesidad de facilitar los cálculos con fracciones
decimales, es bueno notar que luego se encontró la forma
de expresar cualquier fracción como un número decimal.
La mayor facilidad para
los cálculos radica en que sólo se efectúan las
operaciones con números enteros y no ya con fracciones,
pues al escribir, por ejemplo,
en la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03) y en
realidad esta operación requiere sólo que se
multipliquen los números enteros
y luego se le coloca la
coma de manera que se obtengan 3 espacios ocupados a la
derecha de la coma, y se escribe entonces
Es importante saber
que, en los tiempos en que esta idea surgió, no
existían, por supuesto, calculadoras que ayudaran a los
científicos en la realización de cálculos complicados.
En ciertas áreas, como en la astronomía, por ejemplo,
los cálculos complicados requerían de mucha precisión.
Los números decimales
se usaron finalmente, no sólo para representar
fracciones decimales, sino cualquier fracción en
general.
Por ejemplo, sabemos
que
, lo cual se puede obtener escribiendo
como fracción decimal, de la siguiente manera:
se multiplican
numerador y denominador por 5, en este caso, pues se
sabe que
y esa operación permitirá encontrar la fracción
equivalente a
que tiene denominador igual a 10:
Otra manera de obtener
esto, es la siguiente:
La serie de operaciones
mostradas equivale a la división
, que se realiza multiplicando el dividendo por 10, por
ser menor éste que el divisor:
El paso final de
colocar la coma en el sitio correcto equivale a la
multiplicación por
, en este caso:
De esta manera, es
posible encontrar la expresión decimal que corresponde a
una fracción cualquiera.
Si la fracción es
impropia, se realiza la división del numerador entre el
denominador, de la manera usual, y se obtiene la
expresión decimal de la fracción.
Por ejemplo:
Ocurre con algunas
fracciones algo curioso: cuando se realiza la división
del numerador entre el denominador, se obtienen cifras
decimales que se repiten indefinidamente, como en el
caso de
.
al efectuar la
división, en cada paso se obtiene resto igual a 2 y así,
la expresión decimal en cuestión es:
Los puntos suspensivos
indican que la sucesión de 6 ¡no tiene fin!
Esta expresión se llama
expresión decimal periódica y también se escribe así:
El número que se
repite, en este caso, el 6, es llamado el período de la
expresión decimal.
En algunos casos, el
período tiene más de una cifra, por ejemplo:
Ciertamente, es interesante la existencia de estas
expresiones decimales para números cuya expresión
fraccionaria es tan sencilla como
.
El período de la
expresión decimal periódica de
es 142857.
Hay casos en los que la
expresión decimal periódica tiene esta forma:
en este ejemplo, el
período comienza después de las cifras decimales: 01.
Estas dos cifras constituyen el anteperíodo de la
expresión decimal.
Como se ha visto, toda
fracción se puede expresar como número decimal, bien sea
con una cantidad finita, limitada, de cifras decimales,
o bien con una cierta cantidad de cifras decimales que
se repiten de manera periódica infinitas veces.
Se verá a continuación
cómo se logra expresar como fracción, un número que está
escrito en su expresión decimal, bien sea con un número
finito de cifras decimales, o por un período.
Podría el lector
preguntarse si existe la posibilidad de que un número,
en su expresión decimal, tenga una cantidad infinita de
cifras decimales no periódicas, es decir, que las cifras
no se repitan con ningún patrón y que sea ilimitado su
número.
La respuesta es que
tales números sí existen y son llamados irracionales.
Es muy
importante saber reconocer, entre dos números decimales,
cuál es mayor.
Por
ejemplo, entre 5,9 y 6,1, sabemos reconocer a 6,1 como
el mayor de los dos, porque la parte entera de 6,1 es 6,
que es mayor que 5, y no importa que la parte decimal de
6,1 sea 1, mientras que la de 5,9 es 9, que es mayor que
1. Así,
En el lenguaje común se expresa la idea de
proporción con cierta frecuencia.
Fracción
Generatriz.
Si bien
algunas expresiones decimales, como 0,25, pueden
expresarse como fracción fácilmente, simplemente
escribiendo
(en el denominador se escribe
porque hay dos cifras decimales en la expresión decimal
0,25), hay otras que a primera vista parecen tener
dificultades mayores, como por ejemplo:
Realmente
no es tan difícil llevar esta expresión decimal a su
expresión fraccionaria, llamada "la fracción
generatriz'' del número decimal en cuestión.
La manera
de encontrar esta fracción generatriz es la siguiente:
Se
multiplica la expresión decimal periódica
por
,
escogiéndose la potencia 3 porque el período tiene 3
cifras. Si se llama x a la fracción
generatriz, se tiene que
ya que
Restando x
a 1.000x se obtiene
Pero, por
otro lado,
por lo
tanto,
y
Simplificando, se obtiene
como la fracción generatriz de
.
Las
expresiones decimales periódicas con anteperíodo,
como por ejemplo:
también pueden llevarse a su forma fraccionaria.
Para encontrar la fracción generatriz de esta
expresión decimal, se comienza por multiplicarla por
10:
De
esta manera, se obtiene una expresión decimal
periódica cuyo período comienza después de la coma,
es decir, se elimina el anteperíodo.
De
nuevo, se llama x a la fracción generatriz, que, en
definitiva, es el mismo número
Así,
ahora,
restando ahora 1000x-10x se obtiene
es
decir, 1000x-10x=2982, luego 990x=2982 y
Si has
acertado en todas tus respuestas, ¡felicitaciones! has
hecho un buen progreso en tu camino a través del mundo
de los números. Si has cometido algunos errores,
asegúrate de comprender la causa de los mismos, para no
cometerlos nuevamente en el futuro.
en la forma decimal, se obtiene (2,5)(0,03) y en
realidad esta operación requiere sólo que se
multipliquen los números enteros 
, lo cual se puede obtener escribiendo
como fracción decimal, de la siguiente manera:
y esa operación permitirá encontrar la fracción
equivalente a
, que se realiza multiplicando el dividendo por 10, por
ser menor éste que el divisor: 
, en este caso: 
. 
. 
(en el denominador se escribe
porque hay dos cifras decimales en la expresión decimal
0,25), hay otras que a primera vista parecen tener
dificultades mayores, como por ejemplo: 
por
,
escogiéndose la potencia 3 porque el período tiene 3
cifras. Si se llama x a la fracción
generatriz, se tiene que 
como la fracción generatriz de
