L a G r a n E n
c i c l o p e d i a I l u s t r a d a d e l
P r o y e c t o S a l ó n H o g a r |
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Ya los egipcios en tiempos anteriores a Pitágoras, quien vivió
en el siglo VI a.C., conocían la relación que existe entre los
tres lados de un triángulo rectángulo cualquiera: |
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Lo sabían por experiencia, es
decir, habían observado que en todos los triángulos rectángulos
que ellos habían tenido la ocasión de conocer (tomar sus
medidas, en particular) se cumplía la relación.
Sin embargo, nunca se
ocuparon de hacer una demostración que explicara por qué, en
cualquier triángulo rectángulo, del tamaño y la forma que
fuese, esa relación tenía que cumplirse.
Los griegos de la época en
que vivía Pitágoras no usaban los símbolos matemáticos como:
,
,
, que se usan hoy en día, y su forma de escribir esa relación
que hoy se llama Teorema de Pitágoras era esencialmente
geométrica: sobre cada uno de los lados de un triángulo
rectángulo, construían un cuadrado, como en la figura siguiente:
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La igualdad
que escribimos hoy, ellos la expresaban diciendo que el área del
cuadrado construido sobre el lado mayor de un triángulo
rectángulo era igual a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos sobre cada uno de los otros dos lados.
Hay diversas
versiones acerca de cómo fue que Pitágoras demostró el teorema
que le hizo famoso.
En lo que
sigue, se mostrará una de las demostraciones que se cree que dio
Pitágoras. |
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Entre los grandes teoremas de toda la historia de la Matemática,
ciertamente está el Teorema de Pitágoras.
Tal vez una de las
razones que hay para considerarlo así, sea la simplicidad de su
enunciado, unida a la inmensa variedad de aplicaciones que tiene.
Para comprender lo
que enuncia el Teorema de Pitágoras, basta con saber lo que es un
triángulo rectángulo, y lo que significa elevar un número al cuadrado.
Si
es un triángulo rectángulo, y
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los lados
y
son llamados los catetos (son los lados adyacentes al ángulo recto) y el
lado
es la hipotenusa (el lado opuesto al ángulo recto).
El Teorema de
Pitágoras asegura que
Es decir, que, en
todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la
suma de los cuadrados de los catetos.
Se cree que la
demostración que hizo Pitágoras de ese teorema es la que se muestra en
la figura de la izquierda.
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El cuadrado
tiene lado igual a
. Los triángulos
,
,
y
son todos rectángulos y todos tienen catetos
y
y su hipotenusa es igual a
.
Cuando se retiran
estos 4 triángulos de la figura anterior, queda una figura de área igual
a
(ver figura a la derecha) |
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Ahora, se vuelven a
colocar los 4 triángulos mencionados dentro del cuadrado
, de lado
, pero en otra posición. (Figura siguiente).
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El cuadrilátero
es un cuadrado, porque cada uno de sus ángulos internos es igual a
. Esto se deduce de lo siguiente:
Si
y
son los ángulos agudos del triángulo
, entonces
, porque
y la suma de los ángulos internos del cualquier triángulo es igual a
. |
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Como
y
son congruentes entonces
. como
, y
, entonces
De la misma manera, se ve que los otros tres
ángulos internos del cuadrilátero
son rectos.
Por lo tanto el área de
, porque
es la hipotenusa de los 4 triángulos rectángulos.
Ahora, al retirar los 4 triángulos rectángulos,
queda el cuadrado de lado
(ver figura a la izquierda) |
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De cualquier manera que se retiren los 4 triángulos rectángulos, la
figura que se obtiene al final tendrá siempre área igual. Por eso,
. De esta manera, queda demostrado el Teorema de Pitágoras.
A continuación, se
resolverá, usando este teorema, un problema que aparece en un libro del
siglo XII d.C., escrito por un gran matemático de la India: Bhaskara
Akaria.
Un águila se
encontraba en la copa de un árbol en cuya base estaba la cueva de una
ardilla. El águila observó a la ardilla parada a 15 m. de distancia de
la base del árbol:
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La ardilla corrió
hacia el árbol y el águila avanzó en línea recta hasta alcanzar a la
ardilla, antes de que ésta llegara a su cueva. Si la altura del árbol es
de 5 metros y la ardilla y el águila recorrieron distancias iguales
hasta encontrarse, ¿a cuántos metros de la cueva se encontraron?
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Solución:
Según los datos del problema,
pues el recorrido del águila y el de la
ardilla son iguales. Se pide calcular
.
Como
es un triángulo rectángulo, con ángulo recto en
, se tiene, por el teorema de Pitágoras, que:
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Otro problema del mismo libro de Bhaskara:
Si un bambú de 16 m.
de altura se quiebra por el viento de manera tal que la punta toca al
suelo a 6 m. de distancia de la base, ¿a qué altura a partir del suelo
fue quebrado el bambú ? |
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Sea
la altura que se pide.
Se obtiene un triángulo rectángulo entre
los dos trozos de bambú partido y el suelo.
Por el teorema de Pitágoras, se sabe que
Ahora,
, porque
y
son las longitudes de los dos pedazos que quedaron del bambú de
16 m. de alto, después de haberse partido.
Entonces
. Así,
Finalmente:
entonces, el bambú se quebró a 6.8
m. del suelo. |
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Ver:
Triangulos
Teorema de Pitagoras
Conceptos Generales
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Bibliografía recomendada:
Bárcenas, D., Porras,
O. (2002) Elementos de Trigonometría. para la Enseñanza de la
Matemática.
Dunham, W. (1994) The
Mathematical Universe. New York: John Wiley & Sons, Inc.
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