Triángulos Sigue: Teorema de Pitagoras |
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Ahora bien, Eratóstenes observó que la proporción entre la distancia entre Siena y Alejandría (794 Kms. aproximadamente) y los que mide el ángulo que le corresponde, debe ser igual a la proporción entre la longitud de la circunferencia completa de la Tierra y los que mide el ángulo total que le corresponde. Es decir, si es la longitud de la circunferencia de la Tierra, entonces Este cálculo le permitió obtener una medida de 40.834 Kms. (aunque en su época se usaba otra unidad de medida, el stadium, distinto al kilómetro). La longitud real es de 40.000 Kms. Todavía hoy asombra la exactitud de este resultado obtenido por Eratóstenes.
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Entre las figuras más simples que se generan a partir de rectas secantes están los triángulos. Tres rectas secantes dos a dos que no se corten en un único punto, producen un triángulo cuyos vértices son los tres puntos de corte: |
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Para hacer referencia al triángulo anterior se escribirá (se lee: triángulo ). También podría escribirse: , etc. El orden en que se dan los vértices no modifica el triángulo. Se dice que un lado es adyacente a un ángulo si el lado forma parte del ángulo. Por ejemplo, los lados y son adyacentes al ángulo en . Si un lado no es adyacente a un ángulo, se dice que es opuesto a él: el lado es opuesto al ángulo en , que se escribirá así: (La letra del medio representa el vértice del
ángulo).
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Los ángulos internos del
triángulo
son:
Los ángulos exteriores son aquellos que se forman entre un lado y la prolongación de otro. Por ejemplo: (ver figura a la derecha) |
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Los ángulos dibujados son ángulos exteriores del triángulo . Pero esos no son los únicos ángulos exteriores del triángulo . también lo son los que se muestran a la izquierda. |
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Si se dibujan ahora todos los ángulos exteriores al triángulo , se podrá observar algo interesante: |
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Entre los seis ángulos exteriores que se forman, hay tres parejas de ángulos congruentes (o iguales):
La razón por la cual estos pares de ángulos coinciden, es una de las propiedades fundamentales de los ángulos que se forman entre dos rectas secantes. |
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Se distinguen, dentro de un triángulo , cualquiera, algunos segmentos de recta importantes: |
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Las alturas: Son los segmentos trazados desde cada vértice, de manera tal que son perpendiculares al lado opuesto. Por ejemplo, los segmentos , y son las tres alturas del triángulo . |
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Puede ocurrir que una altura no corte al lado opuesto al vértice de donde parte, sino a una prolongación de ese lado. Por ejemplo: es la altura correspondiente al vértice , del triángulo .
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Las medianas:
Son los segmentos que unen el punto medio de cada lado con el vértice opuesto. Están trazadas en el siguiente triángulo, las tres medianas. Las tres medianas de un triángulo cualquiera se cortan en un punto, llamado baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo |
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Las mediatrices:
La mediatriz del lado es la recta perpendicular a que pasa por el punto medio de ese segmento. Así también, las
mediatrices de los lados
y
son perpendiculares a estos segmentos, que pasan por sus puntos
medios. |
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Las bisectrices:
Como su nombre lo indica, son las bisectrices de los tres ángulos interiores. Las tres bisectrices se cortan en un punto, llamado el incentro del triángulo. |
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Hay una propiedad que tienen todos
los triángulos, y que es muy importante: la suma de los tres ángulos
interiores es igual a
.
Esto significa que cualquier triángulo, independientemente de su forma o tamaño, cumple con esa propiedad; por ejemplo, los siguientes triángulos, todos la satisfacen.
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Si se mide con un transportador cada ángulo de un triángulo cualquiera, se constata que, en efecto, la suma de esas medidas es igual a . Hay una manera de demostrar que esto tiene que ser así, aunque se trate de un triángulo cuyos vértices sean el centro de la Tierra, el centro de la Luna y el centro de Venus, en un instante determinado de sus trayectorias. Para demostrarlo, supóngase que se considera el triángulo de la izquierda. |
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En la demostración se usará sólo el hecho de ser un triángulo, y no alguna propiedad particular de este triángulo. Para comenzar, se escoge un vértice cualquiera, por ejemplo, , y se traza por una paralela al lado . |
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Como se trata de una recta, la suma es igual a . Por otra parte, se tienen dos paralelas cortando a la secante (o su prolongación)
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Como y son ángulos alternos internos, son iguales. Lo mismo se puede decir acerca de los ángulos . Así, por ser: Pero
,
y
son los tres ángulos interiores del triángulo
. Se ha demostrado, entonces, que la suma de los tres ángulos interiores
de un triángulo es igual a
. |
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Un triángulo rectángulo es aquel que tiene uno de sus ángulos igual a . Por ejemplo, los triángulos que se muestran a la derecha son rectángulos. En ambos triángulos, el ángulo en el vértice es recto. |
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Otros triángulos especiales son los siguientes:
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Congruencia de triángulos. Dos triángulos son
congruentes si al hacer una traslación de uno de ellos y colocarlo sobre
el otro, es posible hacerles coincidir en todos sus puntos. Por ejemplo,
los triángulos de la derecha son congruentes. |
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Dos triángulos son congruentes si cada uno de los tres lados del primero es congruente a uno de los tres lados del segundo. Por ejemplo, en la figura de la izquierda, Este criterio con frecuencia se identifica con las letras LLL (tres lados).
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Dos triángulos son congruentes si dos lados del
primero y el ángulo comprendido entre esos lados, son congruentes a dos
lados del segundo triángulo y el ángulo comprendido entre ellos,
respectivamente: (ver figura de la derecha) |
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Dos triángulos son congruentes si tienen dos ángulos y el lado común a ellos, respectivamente congruentes. Por ejemplo, en la figura de la izquierda. Este criterio se escribe ALA (ángulo-lado-ángulo). |
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Sea un triángulo isósceles, donde y sea una bisectriz. |
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Entonces, se probará que:
Para ver que es la mediana, hay que probar que es el punto medio de , es decir, que . esto será evidente cuando se compruebe que los triángulos y son congruentes. Como es la bisectriz del ángulo , entonces los ángulos y son ambos iguales a la mitad de . porque es isósceles y es un lado común a los triángulos y . Usando el criterio LAL, se concluye que estos dos triángulos son congruentes: |
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esto significa que , y así se obtiene que es la mediana sobre el lado . Como y son congruentes, entonces también los ángulos , son congruentes. |
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Pero , porque , son ángulos adyacentes. Es decir esto significa que es perpendicular a y por eso también es la altura y la mediatriz. Con esto queda probada la parte 1).
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Para probar la parte 2), se usa de nuevo que y son congruentes, y por lo tanto sus tres ángulos tienen que coincidir. Los ángulos en coinciden, los ángulos en coinciden y por último, los ángulos en y coinciden, es decir, . |
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Usando la Geometría, Euclides resolvía ecuaciones lineales de una manera muy interesante. Por ejemplo, la ecuación Si se escribe , puede pensarse que 8 es el área de un rectángulo de lados 2 y 4.
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Por otra parte, la expresión del lado
izquierdo de la ecuación se puede escribir como:
también se interpretará esta expresión como el área de un rectángulo con un lado igual a La igualdad |
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significa, en los términos geométricos de Euclides, que se está buscando un rectángulo que tenga un lado igual a y que su área sea igual a la del rectángulo . |
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Euclides comienza con la construcción que se muestra en la figura de la izquierda.
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Se traza la diagonal y se prolonga hasta cortar la prolongación de (ver figura de la derecha).
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ahora, se construye el rectángulo (ver figura a la izquierda) |
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y se prolonga el lado . |
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Ver: Triangulos Teorema de Pitagoras Conceptos Generales WWW.PROYECTOSALONHOGAR.COM |
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Paredes, B., Salcedo, A.
(1997) Matemática Santillana, S.A.
Ballester, C.
(1995) Geometría. Temas de Matemáticas
Elementales. 2. Caracas: Ediciones CENAMEC. |