Table of Contents | Home

Adding algebraic fractions:  Level 2

Back to Section 1

Problem 7.

To see the answer, pass your mouse over the colored area.
To cover the answer again, click "Refresh" ("Reload").
Do the problem yourself first!

  a)    1
x
 +    2 
3x
 =   3 + 2
  3x
 =    5 
3x
    b)     3 
2x
 −    4 
2x²
 =   3x − 4
   2x²
  c)         1     
(x + 1)²
  +       2    
(x + 1)
  =   1 + 2(x + 1)
   (x + 1)²
  =   1 + 2x + 2
   (x + 1)²
 =    2x + 3 
(x + 1)²
  d)         6     
x(x − 1)
 +        2     
x(x − 2)
  =   6(x − 2) + 2(x − 1)
   x(x − 1)(x − 2)
 
    =   6x − 12 + 2x − 2
  x(x − 1)(x − 2)
 
    =       _8x − 14_   
x(x − 1)(x − 2)
  Example 7.   Add          4     
x² − 25
 −           3        
x² − 6x + 5

Note that we tend to say "add" in algebra, even though the operation is subtraction.

Solution.   To construct the LCM of the denominators, we must first factor the denominators.

     4     
x ² − 25
 −           3        
x² − 6x + 5
  =           _4_       
(x + 5)(x − 5)
 −           _3_       
(x − 5)(x − 1)
 
    =    4(x − 1) − 3(x + 5) 
(x + 5)(x − 5)(x − 1)
 
    =   _4x − 4 − 3x − 15_
(x + 5)(x − 5)(x − 1)
 
    =          __x − 19__      
(x + 5)(x − 5)(x − 1)

Problem 8.   Add.   First factor each denominator.

  a)    x
2
 +    _5_  
2x + 2
  =   x
2
 +     _5_   
2(x + 1)
 
    =   x(x + 1) + 5
   2(x + 1)
 
    =   x² + x + 5
 2(x + 1)
  b)        1   
x² − x
 +   2
x
  =      _1_   
x(x − 1)
 +  2
x
 
    =   1 + 2(x − 1)
  x(x − 1)
 
    =   1 + 2x − 2
  x(x − 1)
 
    =    2x − 1 
x(x − 1)
  c)       2   
x + 3
 +      12   
x² − 9
  =      2   
x + 3
 +      __12__    
(x + 3)(x − 3)
 
    =   2(x − 3) + 12
(x + 3)(x − 3)
 
    =     2x − 6 + 12  
 (x + 3)(x − 3)
 
    =   ___2x + 6___
 (x + 3)(x − 3)
 
    =   __ 2(x + 3) __
 (x + 3)(x − 3)
 
    =     _2_  
 x − 3
  d)      ___6___  
x² + 5x + 6
 +    ___2___ 
x² − x − 6
  =       ___6___    
(x + 2)(x + 3 )
 +     ___ 2___   
(x + 2)(x − 3)
 
    =    6(x − 3) + 2(x + 3) 
(x + 2)(x + 3)(x − 3)
 
    =   _ 6x − 18 + 2x + 6 _
(x + 2)(x + 3)(x − 3)
 
    =   _____8x − 12_____
(x + 2)(x + 3)(x − 3)
 
    =     ___ 4(2x − 3) ___  
(x + 2)(x + 3)(x − 3)

Factor the numerator to see if anything might cancel.

  e)      ___3___  
x² − 7x + 10
 −    __2__ 
x² − 25
  =       ___3___    
(x − 2)(x − 5)
 −     ___ 2___   
(x + 5)(x − 5)
 
    =    3(x + 5) − 2(x − 2) 
(x − 2)(x − 5)(x + 5)
 
    =   _ 3x + 15 − 2x + 4 _
(x − 2)(x − 5)(x + 5)
 
    =   ___ __x + 19__ ___
(x − 2)(x − 5)(x + 5)
   f)       ___7___   
3x² − 5x + 2
 −     ___4___  
3x² + x − 2
  =       ___7___    
(3x − 2)(x − 1)
 −      ___ 4___    
(3x − 2)(x + 1)
 
    =     7(x + 1) − 4(x − 1)  
(3x − 2)(x − 1)(x + 1)
 
    =    _ 7x + 7 − 4x + 4_  
(3x − 2)(x − 1)(x + 1)
 
    =   ___ __3x + 11__ ___
(3x − 2)(x − 1)(x + 1)

Example 8.   Symmetrically, we can rewrite a fraction as a sum of fractions:

a + b + c
      d
= a
d
+ b
d
+ c
d

Problem 9.   Rewrite each of the following as a sum of fractions, and simplify.

  a)    1 + 2 + 3
      6
= 1
6
+ 2
6
+ 3
6
= 1
6
+ 1
3
+ 1
2
  b)    2n² − 4n + 1
      n²
= 2n²
 n²
4n
n²
+  1 
n²
= 2 4
n
+  1 
n²
  c)    x³ + 4x² + 2
       2x5
=  x³ 
2x5
+ 4x²
2x5
+  2 
2x5
=  1 
2x²
+  2 
x3
+  1 
x5
  d)    x − 1
x + 1
=    x   
x + 1
   1   
x + 1
  Example 9.   Simplify   
  Solution.       =  
 
    =   c·     ab   
b + a
   (Definition of division)
 
    =     cab  
b + a
  or     abc  
a + b

Problem 10.   Simplify.

  a)     =     =   1
6
·   1 
10
  =    1 
60
  b)     =     =  z·    xy  
y + x
 =    zxy  
y + x
  =   x − (x + h)
  (x + h)x
·  1
h
    =   xxh
  (x + h)x
·  1
h
    =       −h    
(x + h)x
·  1
h
    =   −       1     
(x + h)x
 
  d)      =     =   (x + 1)(x − 1)
         x²
·    x  
x − 1
  =   x + 1
   x

Or, on recognizing the numerator as the Difference of Two Squares:

    =     =  1 +  1
x
 =   x + 1
   x
 e)      =  
 
    =   (a + b)(ab)
        ba
·    ba  
a + b
 
    =   ab

Next Lesson:  Equations with fractions


Table of Contents | Home


Please make a donation to keep TheMathPage online.
Even $1 will help.


Copyright © 2001-2007 Lawrence Spector

Questions or comments?

E-mail:  themathpage@nyc.rr.com