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 Á L G E B R A

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Introducción al Álgebra - Lo Básico

El Álgebra es muy divertida – ¡puedes resolver acertijos con ella!

Un Acertijo

¿Cuál es el número que falta?

 
- 2 = 4

Bueno pues, la respuesta es 6, ¿no? Porque 6-2=4.

Bien, en Álgebra no usamos espacios vacíos o cajas sino que usamos una letra (normalmente una x o una y, pero cualquier letra está bien). Entonces escribiríamos:

x - 2 = 4

Es así de sencillo. La letra (en este caso una x) sólo quiere decir “aún no lo sabemos” y se la llama frecuentemente incógnita o variable.

Y una vez que la resuelves, escribes:

x = 6

¿Por qué usar una letra?

  Porque:
es más fácil escribir “x” que dibujar cajitas vacías (y más fácil decir “x” que “caja vacía”)
si hubiera muchas cajitas vacías (muchas “incógnitas”) podríamos utilizar una letra diferente para cada una.

Cómo Resolver

El álgebra es como un acertijo donde empiezas con algo como “x-2=4” y quieres llegar a algo como “x=6”.

Pero en lugar de decir “obviamente x=6”, usa el siguiente método paso a paso:

  • Piensa qué es lo que debes quitar para llegar a “x=…”
  • Quítalo haciendo lo opuesto (sumar es opuesto a restar)
  • Esto último hazlo en ambos lados

Aquí tienes un ejemplo:

Queremos quitar el “-2” Para quitarlo, haz lo opuesto, en este caso suma 2 Hazlo en ambos lados: Lo cual es ... ¡Resuelto!

 

¿Por qué agregamos 2 a ambos lados?

Para “mantener el equilibrio”…

  Agrega 2 a la izquierda Agrega 2 a la derecha también
Equilibrada ¡Desequilibrada! Equilibrada de nuevo

Acuérdate de esto:

Para mantener el equilibrio, ¡lo que se hace a un lado del “=”
también debe hacerse al otro lado!

Otro Acertijo

Resuelve éste:
x + 5 = 12

 
Comienza con: x + 5 = 12
 
Lo que estás buscando es una respuesta como “x=…” ¡y el +5 está molestando!

Si restas 5, puedes cancelar el +5 (porque 5-5=0)

 
   
Entonces, intentemos restar 5 en ambos lados: x+5 -5 = 12 -5
   
Un poquito de aritmética (5-5=0 y 12-5=7) da como resultado: x+0 = 7
   
Lo cual es simplemente: x = 7
  ¡Resuelto!
(chequeo rápido: 7+5=12)  
 

Inténtalo Tú Mismo

Ahora practica con estos Ejercicios Simples de Álgebra:

Resuelve los siguientes problemas
1:
x+9 = 11
 
2:
x-10 = 0
 
3:
x+7 = 17
 
4:
2+x = 8
 
5:
9+x = 16
 
6:
x+5 = 13
 

7:

-9+x = -2

 

8:

x+7 = 9

 

Solución al final de la página

Intenta utilizar los pasos que te hemos mostrado aquí, en lugar de adivinar

El orden de las operaciones

Operaciones

Las "operaciones" son por ejemplo sumar, restar, multiplicar, dividir, calcular el cuadrado, etc. Si algo no es un número entonces probablemente es una operación.

Pero, cuando ves algo como...

7 + (6 × 52 + 3)

... qué parte tendrías que calcular primero?

¿Empiezas por la izquierda y vas hacia la derecha?
¿O de derecha a izquierda?

Atención: ¡Si lo calculas en el orden equivocado, tendrás una respuesta equivocada!

Así que hace tiempo la gente se puso de acuerdo en seguir algunas reglas para hacer cálculos, y son:

El orden de las operaciones

Primero haz las cosas entre paréntesis. Ejemplo:

sí   6 × (5 + 3) = 6 × 8 =
48
 
no   6 × (5 + 3) = 30 + 3 =
33
(mal)

Exponentes (potencias, raíces) antes que multiplicaciones, divisiones, adiciones o sustracciones. Ejemplo:

sí   5 × 22 = 5 × 4 =
20
 
no   5 × 22 = 102 =
100
(mal)

Multiplicar o dividir va antes que sumar o restar. Ejemplo:

sí   2 + 5 × 3 = 2 + 15 =
17
 
no   2 + 5 × 3 = 7 × 3 =
21
(mal)

Aparte de eso se va de izquierda a derecha. Ejemplo:

sí   30 ÷ 5 × 3 = 6 × 3 =
18
 
no   30 ÷ 5 × 3 = 30 ÷ 15 =
2
(mal)

¿Cómo me puedo acordar? ¡PEMDAS!

 
 
P
Paréntesis primero
E
Exponentes (potencias y raíces cuadradas, etc.)
MD
Multiplicación y División (de izquierda a derecha)
AS
Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)


 
Nota: multiplicar y dividir están al mismo nivel. Sumar y restar están al mismo nivel.
  Después de hacer "P" y "E", sólo ve de izquierda a derecha haciendo las "M" o "D" cuando te encuentres una.

Entonces ve de izquierda a derecha haciendo las "A" o "S" cuando las encuentres.

Nota: no hace falta que te aprendas PEMDAS si no quieres, lo importante es que te aprendas el orden de las operaciones correctamente.

Ejemplos

Ejemplo: ¿Cómo calculas 3 + 6 × 2 ?

Multiplicación antes que Adición:

Primero 6 × 2 = 12, después 3 + 12 = 15


 
Ejemplo: ¿Cómo calculas (3 + 6) × 2 ?

Paréntesis primero:

Primero (3 + 6) = 9, después 9 × 2 = 18


 
Ejemplo: ¿Cómo calculas 12 / 6 × 3 ?

Multiplicación y División están al mismo nivel, ve de izquierda a derecha:

Primero 12 / 6 = 2, después 2 × 3 = 6

 

Ah, sí, ¿y qué pasa con 7 + (6 × 52 + 3)?

7 + (6 × 52 + 3)  
7 + (6 × 25 + 3) Empieza dentro del paréntesis, y después haz los exponentes primero
7 + (150 + 3) Después multiplica
7 + (153) Después suma
7 + 153 Paréntesis hecho, la última operación es una suma
160 ¡HECHO!

Álgebra - Sustituciones

"Sustituir" significa poner algo en lugar de otra cosa.

Sustitución

En álgebra "sustitución" significa poner números donde hay letras:

Si tienes:
x - 2
Y sabes que x=6 ...  
... entonces puedes "sustituir" 6 por x:
6 - 2 = 4

 

Ejemplo 1: si x=5 y y=3, ¿cuánto es 10/x + 2y ?
 

Pon "5" donde esté la "x", y "3" donde esté la "y": 10/5 + 2×3 = 2 + 6 = 8

 

Ejemplo 2: Si x=3 y y=4, ¿cuánto es x2 + xy ?
 

Pon "3" donde esté la "x", y "4" donde esté la "y": 32 + 3×4 = 9 + 12 = 21

 

Ejemplo 3: Si x=3 (pero no conoces "y"), ¿cuánto es x2 + xy ?
 

Pon "3" donde esté la "x": 32 + 3y = 9 + 3y (esto es todo lo que puedes hacer)
 

 

Y como muestra este último ejemplo, no siempre tendrás un número como respuesta, a veces sólo una fórmula más simple.

Ecuaciones y fórmulas

Qué es una ecuación

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

x + 2 = 6

Lo que la ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Qué es una fórmula

Una fórmula es un tipo especial de ecuación que muestra la relación entre diferentes variables (una variable es un símbolo que representa un número que no conocemos todavía).

Ejemplo: La fórmula para calcular el volumen de una caja es

V = lpa

V significa volumen, l longitud, p profundidad y a altura.


ortoedro Si l=5, p=10 y a=4, entonces V = 5×10×4 = 200

Una fórmula tiene más de una variable.

Todas estas son ecuaciones, pero sólo algunas son fórmulas:

x = 2y - 7 Fórmula (que relaciona x e y)
a2 + b2 = c2 Fórmula (que relaciona a, b y c)
x/2 + 7 = 0 No es una fórmula (sólo una ecuación)

Sin el igual

A veces una fórmula se escribe sin el "=":

Ejemplo: la fórmula para el volumen de una caja es:

lpa

Pero de alguna manera el "=" está allí, porque podrías haber escrito V = lpa si hubieras querido.

Sujeto de una fórmula

El "sujeto" de una fórula es la variable sola (normalmente a la izquierda del "=") que es igual a todo lo demás.

Ejemplo: en la fórmula

s = vt + ½ at2

"s" es el sujeto de la fórmula

Cambiar el sujeto

Una de las cosas más poderosas que puede hacer el Álgebra es "transformar" una fórmula para que otra variable sea el sujeto.

Transformar la fórmula del volumen de una caja (V = lpa) para que la longitud sea el sujeto:
EMpieza por: V = lpa
divide los dos lados entre p: V / p = la
divide los dos lados entre a: V / pa = l
intercambia los lados: l = V / pa

Así que si tienes una caja con profundidad 2m, altura 2m y volumen 12m3, puedes calcular su longitud:

l = V / pa

l = 12m3 / (2m×2m) = 12/4 = 3m

 

Álgebra - Definiciones básicas

 

Qué es una ecuación

Una ecuación dice que dos cosas son iguales. Tendrá un signo de igualdad "=", por ejemplo:

x + 2 = 6

Lo que esta ecuación dice: lo que está a la izquierda (x + 2) es igual que lo que está en la derecha (6)

Así que una ecuación es como una afirmación "esto es igual a aquello"

Partes de una ecuación

Para que la gente pueda hablar de ecuaciones, hay nombres para las diferentes partes (¡mejor que decir "esta cosa de aquí"!)

Aquí tienes una ecuación que dice 4x-7 es igual a 5, y todas sus partes:

Una variable es un símbolo para un número que todavía no conocemos. Normalmente es una letra como x o y.

Un número solo se llama una constante.

Un coeficiente es un número que está multiplicando a una variable (4x significa 4 por x, así que 4 es un coeficiente)

Un operador es un símbolo (como +, ×, etc) que representa una operación (es decir, algo que quieres hacer con los valores).

   
Un término es o bien un número o variable solo, o números y variables multiplicados juntos.

Una expresión es un grupo de términos (los términos están separados por signos + o -)

Ahora podemos decir cosas como "esa expresión sólo tiene dos términos", o "el segundo término es constante", o incluso "¿estás seguro de que el coeficiente es 4?"

¡Exponente!

10 a la potencia 2 El exponente (como el 2 en x2) dice cuántas veces usar el valor en una multiplicación.

Ejemplos:

82 = 8 × 8 = 64

y3 = y × y × y

y2z = y × y × z

 

Los exponentes hacen más fácil escribir y usar muchas multiplicaciones

Ejemplo: y4z2 es más fácil que y × y × y × y × z × z, o incluso yyyyzz

Polinomio

Un ejemplo de un polinomio: 3x2 + x - 2

Un polinomio puede tener constantes, variables y los exponentes 0,1,2,3,...

Y se puede combinar haciendo sumas, restas y multiplicaciones... ¡pero no divisiones!

polinomio

Polinomios

Un polinomio es así:
un ejemplo de polinomio
un ejemplo de polinomio
este tiene 3 términos

Están hechos de:

círculo constantes (como 3, -20, o ½)
círculo variables (como x e y)
círculo exponentes (como el 2 en y2) pero sólo pueden ser 0, 1, 2, 3, ... etc

Que se pueden combinar usando:

+ - × sumas, restas y multiplicaciones...
 
círculo ... ¡pero no divisiones! círculo

 

Monomio, binomio, trinomio

Hay nombres especiales para polinomios con 1, 2 o 3 términos:

monomio, binomio, trinomio


 

Términos similares

"Términos similares" son términos cuyas variables (y sus exponentes como el 2 en x2) son los mismos.

En otras palabras, términos que "se parecen". (Nota: los coeficientes pueden ser distintos)

Ejemplos:

Términos Por qué son "similares"
flecha 7x x -2x porque las variables son todas x
flecha (1/3)xy2 -2xy2 6xy2 porque las variables son todas xy2

Puedes sumar los términos similares para hacer un solo término:

Ejemplo: 7x + x = 8x

Términos no similares

Si no son términos similares, simplemente se les llama "términos no similares":

Términos Por qué no son "similares"
flecha -3xy -3y 12y2 estos son términos no similares
(xy, y e y2 son todos diferentes)

 

Solución:
1:
x+9 = 11
 
 
Comienza con: x+9 = 11
Resta 9 de ambos lados: x = 2
2:
x-10 = 0
 
 
Comienza con: x-10 = 0
Suma 10 a ambos lados: x = 10
3:
x+7 = 17
 
 
Comienza con: x+7 = 17
Resta 7 de ambos lados: x = 10
4:
2+x = 8
 
 
Comienza con: 2+x = 8
Resta 2 de ambos lados: x = 6
5:
9+x = 16
 
 
Comienza con: 9+x = 16
Resta 9 de ambos lados: x = 7
6:
x+5 = 13
 
 
Comienza con: x+5 = 13
Resta 5 de ambos lados: x = 8
7:
-9+x = -2
 
 
Comienza con: -9+x = -2
Suma 9 a ambos lados: x = 7
8:
x+7 = 9
 
 
Comienza con: x+7 = 9
Resta 7 de ambos lados: x = 2
9:
x-9 = -7
 
 
Comienza con: x-9 = -7
Suma 9 a ambos lados: x = 2
10:
-10+x = 0
 
 
Comienza con: -10+x = 0
Suma 10 a ambos lados: x = 10

 

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